第26章反比例函数复习与小结

第26章反比例函数复习与小结一、本章知识结构图现实世界中的反比例关系反比例函数实际应用的图象和性质归纳抽象xkyxky知识回顾：1.反比例函数的意义.2.反比例函数的图象与性质.3.利用反比例函数解决实际问题.★体会数形结合、分类讨论及转化等数学思想在反比例函数问题中的应用；★熟练掌握和运用待定系数法求反比例函数解析式；★理解反比例函数的图象和性质随Ｋ的变化而变化的规律,能将反比例函数知识和几何知识联系起来解决问题。学习目标一般地,形如(k是常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数。xky1.反比例函数的定义有时反比例函数也写成：y=kx-1或k=xy的形式.反比例函数的自变量的取值范围是不为０的全体实数知识梳理K0K0当k＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.当k＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.（1）.反比例函数的图象是双曲线;（2）.图象性质见下表：图象性质y=xk2.反比例函数的图象和性质：函数正比例函数反比例函数表达式图象及象限性质在每一个象限内:当k0时，y随x的增大而减小;当k0时，y随x的增大而增大.y=kx(k≠0)(特殊的一次函数)当k0时，y随x的增大而增大;当k0时，y随x的增大而减小.k0xyoxyok0k0yx0y0k0x0)k(kxy或kx或yxky13.正比例函数和反比例函数的区别画出反比例函数和的函数图象的一般步骤。y=x4y=x4注意：①列表时自变量取值要均匀和对称,x≠0②连线时自左往右用光滑曲线顺次连结，切忌用折线。③两个分支合起来才是反比例函数图象。列表描点连线描点法用描点法4.反比例函数图像的做法则：垂足为轴的垂线作过上任意一点是双曲线设,,)1(,)0(),(AxPkxkynmP||21||||2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面积性质（一）知识扩展一P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?||21||||2121knmAPOASOAP).(||||||,,,,)2(如图所示则垂足分别为轴的垂线轴分别作过矩形knmAPOASBAyxPOAPBP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质（二）K的几何意义：过双曲线上一点P(m,n)分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A、B，则S矩形OAPB)0(kxky.P(m,n)AoyxB=OA·AP=|m|·|n|=|k|.P(m,n).P(m,n)以上几点揭示了双曲线上的点构成的几何图形的一类性质.掌握好这些性质,对解题十分有益.(上面图仅以P点在第一象限为例).反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点xy012y=—kxy=xy=-x知识扩展二练一练1.下列函数中哪些是y是x的正比例函数？哪些是y是x的反比例函数?①②③④⑤⑥⑦⑧y=3x-1y=2x2y=2x3y=x1y=3xy=32xy=13xy=x13k.3|||,|kkSAPCO矩形,图像在二、四象限又.____,3,,,,.2函数的解析式是则这个反比例阴影部分面积为轴引垂线轴向分别由图像上的一点是反比例函数如图yxPxkyPACoyxP.3xy解析式为解:3.函数是函数，其图象为，其中k=，自变量x的取值范围为.4.函数的图象位于第象限,在每一象限内,y的值随x的增大而,当x＞0时,y0,这部分图象位于第象限.x2yx6y反比例双曲线2x≠0一、三减小＞一.,,21||21,21||21,21||21321111ASSSkSkSkSOOCBOBAOA故选即解:由性质(1)得A.__,,,,,,,,,,,,,,,)0(1,.5321111111则有面积分别为的记边结三点轴于交轴引垂线经过三点分别向的图像上有三点在如图SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1=S2=S3B.S1S2S3C.S3S1S2D.S1S2S3BA1oyxACB1C1S1S3S26.函数与在同一条直角坐标系中的图象可能是_______：aaxy0axayDxyoxyoxyoxyoA.B.C.D.7.若为反比例函数,则m=__.12myx若为反比例函数,则m=__213myx若为反比例函数,则m=__21mmyx20－18.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数的图象上,则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)为.x4yA(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)yxo-1y1y2AB-24Cy3y3＞y1＞y2方法1用图像法解下下方法2用求值法解y3＞y1＞y29.在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其图象如图所示:(1)求p与S之间的函数关系式;(2)求当S＝0.5m2时物体承受的压强p;(3)求当p＝2500Pa时物体的受力面积S.（m2）pSO0.10.20.30.41000200030004000（Pa）A(0.25，1000)解：（1）设p与S之间的函数关系式为p=k/s∵该函数的图像经过点A（0.25，1000）∴1000=k/0.25,即k=250所以p与s之间的函数关系式为p=250/s(2)把S=0.5代人P=250/S中，得P=500所以当S＝0.5m2时物体承受的压强p为500Pa.(3)把P=2500代入P=250/S中，得S=0.1所以当p＝2500Pa时物体的受力面积S为0.1m210.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m/x的图象交于A(-2.1)，B(1,n)两点，(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积。ＡＢyxO解:（1）∵点A(-2,1)在反比例函数y=m/x的图象上，∴m=－２×１＝－２∴反比例函数的表达式为y=-2/x∵点Ｂ（１,n）也在反比例函数y=-2/x的图象上，∴n=－2,即B(1,-2),把A(-2,1)、Ｂ(1,-2）代入一次函数y=kx+b中得解得∴一次函数表达式为y=-x-1；(2)在y=-x-1中当y=0时，得x=-1,∴直线y=-x-1与x轴的交点C(-1,0),∴2bk1b2k1b1k2312121211121SSSΔBOCΔAOCΔAOBＡ(-2,1)Ｂ(1,n)yxOC1.如图：一次函数的图象与反比例函数交于M(2，m)、N(-1，-4)两点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.baxyxky综合运用：M（2，m）20-1N（-1，-4）yx综合运用：M（2，m）20-1N（-1，-4）yx（1）求反比例函数和一次函数的解析式；解:（1）∵点N（-1，-4）在反比例函数图象上∴k=4,又∵点M（2，m）在反比例函数图象上∴m=2∴M（2，2）∵点M、N都在y=ax+b的图象上∴y=2x-2∴xy4∴22ba4ba解得2a2b综合运用：yx20-1N（-1，-4）M（2，m）（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.（2）观察图象得：当x-1或0x2时，反比例函数的值大于一次函数的值.