【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第八节 n次独立重复试验与二项分布课件 理 新人教A版

第八节n次独立重复试验与二项分布1．条件概率条件概率的性质条件概率的定义设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．P(A)P(B)(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝．P(B)P(A)P(B)②如果事件A与B相互独立，那么，，______也相互独立．A与BA与BA与B3．独立重复试验与二项分布Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)计算公式在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为________在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验定义二项分布独立重复试验X～B(n，p)成功概率在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)1．易混“相互独立”和“事件互斥”两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．2．P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．3．易混淆二项分布与两点分布由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．[试一试]1．(2014·包头模拟)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是()A.12125B.16125C.48125D.96125解析：用X表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布B3，45，P(X＝2)＝C23452·151＝48125.答案：C2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18B.14C.25D.12解析：P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(B)＝C22C25＝110，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝110，所以P(B|A)＝PABPA＝PBPA＝14.答案：B牢记且理解事件中常见词语的含义(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B；(2)A，B都发生的事件为AB；(3)A，B都不发生的事件为AB；(4)A，B恰有一个发生的事件为AB∪AB；(5)A，B至多一个发生的事件为AB∪AB∪AB.[练一练]1．(2013·大同调研)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是()A.512B.12C.712D.34解析：依题意，得P(A)＝12，P(B)＝16，且事件A，B相互独立，则事件A，B中至少有一个发生的概率为1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝1－12×56＝712，故选.C2．某光电公司生产的节能灯使用寿命超过30000小时的为一级品，现已知某批产品中的一级品率为0.2，从中任意抽出5件，则5件中恰有2件为一级品的概率为()A．0.1024B．0.2048C．0.2084D．0.3072解析：根据n次独立重复试验的概率计算公式，5件产品中恰有2件为一级品的概率为C25×0.22×0.83＝0.2048.答案：B1．(2013·平顶山二模)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A.310B.29C.78D.79解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝310，P(AB)＝310×79＝730.则所求概率为P(B|A)＝PABPA＝730310＝79.答案：D2．盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同．若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率为()A.23B.13C.1116D.516解析：记“取到蓝球”为事件A，“取到玻璃球”为事件B，则已知取到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是B发生的条件下A发生的条件概率，记作P(A|B)．因为P(AB)＝416＝14，P(B)＝616＝38，所以P(A|B)＝PABPB＝1438＝23.答案：A3．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．解析：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝C25C2100，所以P(B|A)＝PABPA＝5×4100×995100＝499.答案：499[类题通法]条件概率的求法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝PABPA，求P(B|A)；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.[典例](2013·长春二模)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率；(2)求3人中至少有1人被选中的概率．[解]记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.想想“3人中至少有1人被选中”包括几种情况？(2)3人中有2人被选中的概率P2＝P(ABC∪ABC∪ABC)＝25×34×1－13＋25×1－34×13＋1－25×34×13＝2360.3人中只有1人被选中的概率P3＝P(ABC∪ABC∪ABC)＝25×1－34×1－13＋1－25×34×1－13＋1－25×1－34×13＝512.故3人中至少有1人被选中的概率为110＋2360＋512＝910.在本例条件下求三人均未被选中的概率.解：法一：三人均未被选中P＝P(ABC)＝1－25×1－34×1－13＝110.法二：由本例(2)知，三人至少有1人被选中的概率为910∴P＝1－910＝110.[类题通法]求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为()A.910B.45C.89D.8990[针对训练]解析：目标被击中的对立事件为两人都击不中，而两人都击不中的概率为1－910×1－89，所以所求事件的概率为1－1－910×1－89＝8990.答案：D[典例]在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布列．想想选做22题的学生个数服从二项分布吗？(1)注意：甲、乙两学生可能都选第21题或都选第22题！[解](1)设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB＋AB”，且事件A、B相互独立．故P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝12×12＋(1-12)×(1-12)＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B4，12则P(ξ＝k)＝Ck412k·1－124－k＝Ck4124(k＝0,1,2,3,4)．故变量ξ的分布列为：P43210ξ116143814116[类题通法]二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．(2014·广州调研)设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为6364，则事件A恰好发生一次的概率为()A.14B.34C.964D.2764[针对训练]解析：假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝6364，得p＝34，则事件A恰好发生一次的概率为C13×34×1－342＝964.答案：C[课堂练通考点]1．(2014·大连模拟)把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为()A．1B.12C.13D.14解析：设事件A：第一次抛出的是偶数点，B：第二次抛出的是偶数点，则P(B|A)＝PABPA＝12×1212＝12.答案：B2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.88解析：∵所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，∴P＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.答案：D3．已知随机变量X服从二项分布，X～B6，13，则P(X＝2)等于()A.316B.4243C.13243D.80243解析：已知X～B6，13，P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，当X＝2，n＝6，p＝13时，有P(X＝2)＝C26×132×1－136－2＝C26×132×234＝80243.答案：D4．(2014·天津十校联考)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．(1)由已知得P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)·P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)·P(C)＝0.125.解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.(2)记A的对立事件为A，B的对立事件为B，C的对立事件为C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.75，P(C)＝0.5，于是P(A＋B＋C)＝1－P(A·B·C)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.