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第21讲函数与方程思想考向一:构造函数解决函数、不等式、方程问题【例1】设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是.解析:设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)为奇函数.又当x0时,F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)0,所以x0时,F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以x0时,F(x)也是增函数.因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).所以F(x)0的解集是(-∞,-3)∪(0,3)(如图).答案:(-∞,-3)∪(0,3)善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)=f(x)g(x),再根据题意明确该函数的性质,然后由不等式的解集与函数的图象间的关系使问题获得解决的.举一反三11:关于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0,]上有解,求a的取值范围.解:原方程可化为a=sin2x+sinx-1,方程有解,当且仅当a属于函数y=sin2x+sinx-1的值域,而y=sin2x+sinx-1=(sinx+)2-,∵x∈(0,],∴sinx∈(0,1].可求得值域为(-1,1],即a的取值范围是(-1,1].【例2】已知二次函数f(x)的二次项系数为a且不等式f(x)-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.名师导引:(1)如何利用条件“二次函数f(x)的二次项系数为a且不等式f(x)-2x的解集为(1,3)”?【解集(1,3)的两个区间端点就是方程的根,可得f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0】(2)f(x)的最大值为正数,这一条件如何利用?【首先要求出最大值,再通过最大值为正数建立不等式】解:(1)∵f(x)-2x的解集为(1,3),∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0.∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.②∵方程②有两个相等的根,∴Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-,由于a0,故舍去a=1.将a=-代入①得f(x)=-x2-x-.(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a及a0,可得f(x)的最大值为由解得a-2-或-2+a0.故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,0).举一反三21:求函数的值域.解:将之转化为关于x的方程x2-(2+y)x+2=0,则问题变为方程在(0,]上有解的问题,而∴函数f(x)=x2-(2+y)x+2的对称轴,∴方程有解的充要条件为得y≥.故上的值域为[,+∞).考向二:利用函数与方程思想解决数列问题【例3】等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=25,S9=S17,问数列的前多少项和最大?名师导引:易知数列{an}不是常数列,等差数列的前n项和Sn是n的二次函数形式,且常数项为零,所以可利用函数与方程思想研究Sn的最值.解:法一:由S9=S17得9a1+d=17a1+d,又a1=25,∴d=-2.∴Sn=25n+(-2)=-(n-13)2+169∴前13项和最大.法二:Sn=n2+(a1-)n(易知d0),Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点,由S9=S17得最高点的横坐标为=13,即前13项和最大.本题可以转化为数列前n项和的最值问题,显然要运用函数思想,而在求Sn的表达式时,则要运用方程思想.举一反三31:已知数列{an}(n∈N*)是首项为1的等差数列,其公差d0,且a3,a7+2,3a9成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求f(n)=的最大值.解:(1)由题意,得an=1+(n-1)d,∴a3=1+2d,a7=1+6d,a9=1+8d,∵a3,a7+2,3a9成等比数列,∴(3+6d)2=3(1+2d)(1+8d),由d0,得d=1,∴an=n.(2)∵an=n,∴Sn=,∴f(n)===≤=.当且仅当n=,即n=6时,f(n)max=.考向三:利用函数与方程思想解决解析几何问题【例4】已知椭圆的中心E在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,)三点.(1)求椭圆E的方程;(2)若椭圆E的左、右焦点分别为F、H,过点H的直线l:x=my+1与椭圆E交于M、N两点,则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线l的方程;若不存在,请说明理由.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),不妨令y10,y20,如图,设△FMN内切圆的半径为R,则S△FMN=(|MN|+|MF|+|NF|)R=[(|MF|+|MH|)+(|NF|+|NH|)]R=4R,当S△FMN最大时,R也最大,△FMN内切圆的面积也最大,又∵S△FMN=|FH|·|y1|+|FH|·|y2|,|FH|=2c=2,得(3m2+4)y2+6my-9=0,本题考查圆锥曲线(椭圆)的定义、标准方程及其与直线、圆的位置关系,主要考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的应用,及推理运算能力.对于第(2)问,由椭圆的定义知△FMN的周长为定值8,若设△FMN的内切圆的圆心为I,则可将△FMN分为△MNI、△MFI、△NFI,这三个三角形的高均为R,于是S△FMN=S△MNI+S△MFI+S△NFI=×8×R=4R,内切圆的面积最大时,必有S△MFN最大,问题转化为求S△FMN的最大值即可,关于S△FMN的最大值我们利用导数的方法进行求解.举一反三41:(2011年广东深圳二模)平面直角坐标系中,已知直线l:x=4,定点F(1,0),动点P(x,y)到直线l的距离是到定点F的距离的2倍.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)若M为轨迹C上的点,以M为圆心,MF长为半径作圆M,若过点E(-1,0)可作圆M的两条切线EA,EB(A,B为切点),求四边形EAMB面积的最大值.解:(1)设点P到l的距离为d,依题意得d=2|PF|,即x00,又因为M(x0,y0)为轨迹C上的点,所以0x0≤2.而|MF|==|x0-4|,所以,1≤|MF|2,即1≤r2.由(1)知,E(-1,0)为椭圆的左焦点,连接ME,根据椭圆定义知,|ME|+|MF|=4,所以|ME|=4-r,而|MB|=|MF|=r,