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第22讲函数的综合应用问题考向一:函数中的创新型问题【例1】(2011年山东烟台模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数K,定义函数:fK(x)=取函数f(x)=a-|x|(a1),当K=时,函数fK(x)在下列区间上单调递减的是()(A)(-∞,0)(B)(-a,+∞)(C)(-∞,-1)(D)(1,+∞)名师导引:(1)如何解不等式a-|x|≤?【整理成a-|x|≤a-1,根据a1的条件求解,x≤-1,或x≥1】(2)如何作出f(x)=a-|x|(a1)的图象?【按照指数函数的图象进行,利用函数的性质】解析:当K=时,若a1,则01.如图,作出函数fK(x)的图象可得其单调减区间为(1,+∞).故选D.举一反三11:(2011年杭州调测)对于定义在区间D上的函数f(x),若有两条平行直线l1:y=kx+m1和l2:y=kx+m2使得当x∈D时,kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立,且l1与l2的距离取得最小值d时,称函数f(x)在D内有一个宽度为d的通道.有下列函数:①f(x)=e-x;②f(x)=sinx;③f(x)=;④f(x)=+1.其中在[1,+∞)内有一个宽度为1的通道的函数个数为.解析:作出以上函数在[1,+∞)的图象可知,②中-≤sinx≤在直线y=与y=-之间,④中x∈[1,+∞)时1+1≤2,夹在直线y=1与y=2之间,而①为指数函数,④为双曲线右支上部分都找不到一个宽度为1的函数.故符合条件的函数有f(x)=sinx,f(x)=+1.答案:2个考向二:函数在实际问题中的应用【例2】(2011年高考福建卷)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3x6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解:(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,即a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润从而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f'(x)+0-f(x)↗极大值42↘由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点;所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值为42.即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.实际应用问题多以现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等为背景,涉及函数的最值问题,求解时关键是建立函数模型,写出解析式,然后利用函数的单调性、均值不等式以及导数求解.举一反三21:(2011年泰安模拟)某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(x6),年销量为u万件,若已知-u与成正比,且售价为10元时,年销量为28万件.(1)求年销售利润y关于x的函数关系式;(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.解:(1)设-u=k,∵售价为10元时,年销量为28万件;∴-28=k,解得k=2.∴u=-2+=-2x2+21x+18.即y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108.(2)由(1)得y'=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9),令y'=0得x=2(∵x6,舍去)或x=9.显然,当x∈(6,9)时,y'0,当x∈(9,+∞)时,y'0.∴函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是关于x的增函数,在(9,+∞)上是关于x的减函数.∴当x=9时,y取最大值,且ymax=135.∴售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.考向三:函数与不等式的交汇问题【例3】(2011年山东省实验中学二模)已知f(x)=lnx,g(x)=x2+mx+(m0),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数g(x)的图象的切点的横坐标为1.(1)求直线l的方程及m的值;(2)若h(x)=f(x+1)-g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的最大值;(3)当0ba时,求证:f(a+b)-f(2a).解:(1)∵f'(x)=.∴f'(1)=1.∴直线l的斜率为1,且与函数f(x)的图象的切点坐标为(1,0),∴直线l的方程为y=x-1.又∵直线l与函数y=g(x)的图象相切,∴方程组有一解.将上述方程组消去y,并整理得x2+2(m-1)x+9=0(*)依题意,方程(*)有两个相等的实数根,∴Δ=[2(m-1)]2-4×9=0,解得m=4或m=-2,∵m0,∴m=-2.(2)由(1)可知g(x)=x2-2x+,∴g'(x)=x-2,∴h(x)=ln(x+1)-x+2(x-1),∴∴当x∈(-1,0)时,h'(x)0,h(x)单调递增,当x∈(0,+∞)时,h'(x)0,h(x)单调递减.∴当x=0时,h(x)取最大值,其最大值为h(0)=2.在函数与不等式的综合应用问题中,有时会涉及不等式的证明等问题,解决这类问题时,要认真分析欲证不等式的形式特点,必要时需对不等式进行变形,利用函数的单调性证得不等式.举一反三31:(2011年威海模拟)已知函数f(x)=在点(-1,f(-1))的切线方程为x+y+3=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设g(x)=lnx,求证:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立;(3)已知0ab,求证:(1)解:将x=-1代入切线方程得y=-2,证明:(2)由已知得要求证lnx≥在[1,+∞)上恒成立,只需(x2+1)lnx≥2x-2,即x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立.设h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,h'(x)=2xlnx+x+-2.∵x≥1,∴2xlnx≥0,x+≥2,即h'(x)≥0.∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h(1)=0,∴g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立.