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第5讲集合与常用逻辑用语考向一:集合间的关系与集合的运算【例1】(1)(2011年高考陕西卷)设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x|||1,i为虚数单位,x∈R},则M∩N为()(A)(0,1)(B)(0,1](C)[0,1)(D)[0,1](2)(2011年安徽合肥一模)已知集合A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则满足A∩B=B的实数a的值为()(A)1(B)2或3(C)1或3(D)1或2解析:(1)在集合M中,y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|,而x∈R,所以0≤y≤1,即M=[0,1];在集合N中,||1即|-xi|1,|xi|1,所以1,x21,解得-1x1,即N=(-1,1),故M∩N=[0,1),选C.(2)当a=1时,B={x∈R|x2-x+1=0}=⌀,满足A∩B=B;当a=2时,B={x∈R|x2-2x+1=0}={1},这时A∩B={1}=B,满足条件;当a=3时,B={x∈R|x2-3x+1=0}={,},这时A∩B=⌀,不满足A∩B=B.故满足A∩B=B的实数a的值为1或2,选D.研究集合之间的关系或进行集合的运算时,一定要分析集合中的元素是什么?满足哪些条件?必要时要先对集合进行化简,此时融合了其他数学知识的考查,然后再分析集合间的关系并运算.考向二:与集合有关的信息迁移问题【例2】(2011年江苏盐城)对于集合N={1,2,3,…,n}及其每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集中的元素,然后从最大数开始交替进行减、加运算,最后所得的数,叫做这个子集的“交替和”.例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9-6+4-2+1=6,集合{5}的交替和为5,当集合N中的n=2时,集合N={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2-1)=4,请你尝试对n=3的情况,计算它的“交替和”的总和S3=,并根据其结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的“交替和”的总和Sn=.解析:当n=3时,集合N={1,2,3}的所有非空子集是{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},它的“交替和”的总和S3=1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-2)+(3-2+1)=12.由S1=1,S2=4=2×2,S3=12=3×22,归纳猜想Sn=n·2n-1.答案:12n·2n-1举一反三21:(2011年北京东城区综合训练)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有x2∈S,给出如下三个命题:①若m=1,则S={1};②若m=-,则≤l≤1;③若l=,则-≤m≤0.其中正确的命题的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解析:若m=1,则集合S={x|1≤x≤l},当x=l时,x2=l2∈S,∴1≤l2≤l,解得l=1,即集合S中只有一个元素1,所以S={1},所以命题①正确;若m=-,则集合S={x|-≤x≤l},由(-)2≤l,且l2≤l,解得≤l≤1,所以命题②正确;若l=,则集合S={x|m≤x≤},由m≤m2≤,解得-≤m≤0,所以命题③正确.故选D.考向三:四种命题与命题的否定【例3】(1)(2011年浙江桐乡模拟)命题“若|x|+y=0,则y=x或y=-x”的否定形式为()(A)“若|x|+y=0,则y≠x或y≠-x”(B)“若|x|+y=0,则y≠x且y≠-x”(C)“若|x|+y≠0,则y≠x或y≠-x”(D)“若|x|+y≠0,则y≠x且y≠-x”(2)(2011年高考山东卷)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()(A)若a+b+c≠3,则a2+b2+c23(B)若a+b+c=3,则a2+b2+c23(C)若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3(D)若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3解析:(1)命题的否定只否定结论,“或”的否定是“且”,故选B.(2)原命题的条件是a+b+c=3,其否定为a+b+c≠3;原命题的结论是a2+b2+c2≥3,其否定是a2+b2+c23,故否命题是“若a+b+c≠3,则a2+b2+c23”,选A.(1)注意命题的否定与否命题的区别,命题的否定只否定结论,而否命题是条件、结论全部否定;(2)注意“”的否定是“≤”,“或”的否定是“且”等易错点.考向四:充分条件、必要条件的推理与判断【例4】(1)(2011年江西南昌模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则“a6+a70”是“S9≥S3”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(2)(2011年浙江永嘉模拟)已知在xOy平面内有一区域M,命题甲:点(a,b)∈{(x,y)||x|+|y|1};命题乙:点(a,b)∈M.如果甲是乙的必要条件,那么区域M的面积有()(A)最小值2(B)最大值2(C)最小值1(D)最大值1解析:(1)由于{an}是等差数列,前n项和为Sn,若S9≥S3,则S9-S3≥0,即a4+a5+a6+a7+a8+a9≥0,而a4+a9=a5+a8=a6+a7,因此3(a6+a7)≥0,故a6+a7≥0,所以由S9≥S3,不一定可得a6+a70;但由a6+a70,一定可得S9≥S3,即“a6+a70”是“S9≥S3”的充分不必要条件,故选A.(2)设A={(x,y)||x|+|y|1},B={(x,y)|(x,y)∈M},由于甲是乙的必要条件,所以B⊆A,即区域M的面积不大于{(x,y)||x|+|y|1}的面积,而区域{(x,y)||x|+|y|1}的面积等于2,所以区域M的面积有最大值2.故选B.举一反三41:函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点的一个充分而不必要条件是()(A)a=1(B)a≥-1(C)a=0(D)-1≤a≤0解析:当a=0时,f(x)=2x-1只有一个零点;当a≠0时若函数只有一个零点,应满足Δ=4+4a=0,得a=-1,即当a=0或a=-1时函数f(x)只有一个零点,故函数f(x)只有一个零点的一个充分不必要条件可以是a=0,故选C.