高等代数北大版7-1

§7.1线性变换的定义一、线性变换的定义二、线性变换的简单性质§7.1线性变换的定义§7.1线性变换的定义引入在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种保持向量的加法和数量乘法的一一对应.我们常称线性变换.映射.本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性§7.1线性变换的定义一、线性变换的定义设V为数域P上的线性空间，若变换:VV满足：,,VkPkk则称为线性空间V上的线性变换.§7.1线性变换的定义注：几个特殊线性变换由数k决定的数乘变换：:,,KVVkV事实上，,,,VmP(),KkkkKK.KmkmmkmK单位变换(恒等变换)：:,,EVVV零变换：0:,0,VVV§7.1线性变换的定义例1.(实数域上二维向量空间)，把V中每2VR一向量绕坐标原点旋转角，就是一个线性变换，表示，即用T22:,xxTRRyy这里，易验证：TTTTkkT2,,RkRcossinsincosxxyy§7.1线性变换的定义例2．为一固定非零向量，把V中每3,VRV一个向量变成它在上的内射影是V上的一个线333(,):,,(,)RRR性变换.用表示，即这里表示内积.(,),(,)易验证：kk3,,RkR()§7.1线性变换的定义例3．上的求微商是一个线性变换，[][]nVPxPx或用D表示，即:,(())(),()DVVDfxfxfxV例4.闭区间上的全体连续函数构成的线性空间[,]ab:,,,xaJCabCabJfxftdt是一个线性变换.,Cab上的变换§7.1线性变换的定义1．为V的线性变换，则(0)0,()().2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即若1122,rrkkk则1122()()()().rrkkk3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关二、线性变换的简单性质的向量组.即§7.1线性变换的定义若线性相关，则12,,,r12,,,r也线性相关.事实上，若有不全为零的数使12,,,rkkk11220rrkkk则由2即有，11220.rrkkk线性相关的向量组.如零变换.事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成注意：3的逆不成立，即12,,,r线性相关，未必线性相关.12,,,r§7.1线性变换的定义练习：下列变换中，哪些是线性变换？3．在线性空间V中，,V非零固定.4．在中，nnP,nnXAXAP固定.2．在中，[]nPx2()().fxfx1．在中，3R1231223,,(2,,).xxxxxxx5．复数域C看成是自身上的线性空间，().xx6．C看成是实数域R上的线性空间，().xx√√√