高等代数北大版7-6

§7.6线性变换的值域与核一、值域与核的概念二、值域与核的有关性质§7.6线性变换的值域与核§7.6线性变换的值域与核一、值域与核的概念定义1：设是线性空间V的一个线性变换，集合()()|VV称为线性变换的值域，也记作或Im,.V集合1(0)|,()0V称为线性变换的核，也记作ker.注：皆为V的子空间.1(),(0)V§7.6线性变换的值域与核事实上，且对(),(),VVV(),()(),VkP有()()()()V()()()kkV即对于V的加法与数量乘法封闭.()V()V为V的子空间.再看1(0).1(0),(0)0,V首先，§7.6线性变换的值域与核又对有从而1,(0),()0,()0()()()0.()()00,kkkkP即11(0),(0),k故为V的子空间.1(0)110(0),(0).1(0)对于V的加法与数量乘法封闭.§7.6线性变换的值域与核定义2：线性变换的值域的维数称为的秩；()V的核的维数称为的零度.1(0)例1、在线性空间中，令[]nPx()()Dfxfx则1[][],nnDPxPx1(0)DP所以D的秩为n－1，D的零度为1.§7.6线性变换的值域与核1.(定理10)设是n维线性空间V的线性变换，是V的一组基，在这组基下的矩阵是A，12,,,n则1）的值域是由基象组生成的子空间，即()V12()(),(),,()nVL2）的秩＝A的秩.二、有关性质§7.6线性变换的值域与核12(),(),,()nL即12()(),(),,()nVL又对1122()()()nnxxx1122(...)()nnxxxV证：1）设,V1122,nnxxx1122()()()()nnxxx于是有1122()()()nnxxx§7.6线性变换的值域与核12(),(),,()().nLV因此，12()(),(),,().nVL的秩，又1212,(),(),,()(,,,).nnA∴秩＝秩()().A等于矩阵A的秩.2）由1），的秩等于基象组12(),(),,()n由第六章§5的结论3知，的秩12(),(),,()n§7.6线性变换的值域与核2.设为n维线性空间V的线性变换，则的秩＋的零度＝n即1dim()dim(0).Vn证明：设的零度等于r，在核中取一组基1(0)12,,,r并把它扩充为V的一组基：12,,,,,rn生成的.由定理10，是由基象组()V12(),(),,()n§7.6线性变换的值域与核但()0,1,2,,.iir1()(),,()rnVL设11()()0rrnnkk则有110rrnnkk111(0)rrnnkk下证为的一组基，即证它们1(),,()rn()V即可被线性表出.12,,,r线性无关.§7.6线性变换的值域与核设1122rrkkk于是有1122,110rrrrnnkkkkk由于为V的基.12,,,n120nkkk的秩＝n－r.因此，的秩＋的零度＝n.故线性无关，即它为的一组基.1(),,()rn()V§7.6线性变换的值域与核虽然与的维数之和等于n，但是()V1(0)未必等于V.1()(0)V如在例1中,11[]0[][]nnnDPxDPxPx注意：§7.6线性变换的值域与核ⅰ)是满射()VV证明：ⅰ)显然.ⅱ)因为若为单射，则00,1(0)0.3.设为n维线性空间V的线性变换，则ⅱ)是单射1(0)0反之，若任取若1(0)0,,V、()(),则()()()0,即.=故是单射.1(0)0,从而§7.6线性变换的值域与核是单射是满射.证明：是单射1(0)0dim()Vn4.设为n维线性空间V的线性变换，则1dim(0)0是满射.()VV§7.6线性变换的值域与核例2、设A是一个n阶方阵，证明：A相似于2,AA证：设A是n维线性空间V的一个线性变换在一组基下的矩阵，即12,,,n12,12,,,,(,,,)nnA一个对角矩阵1100§7.6线性变换的值域与核由知2,AA2.任取设(),V(),,V则2()(())()()故有当且仅当(),()0V0.因此有1()(0)0V又1dim()dim(0)Vn所以有1()(0).VV从而是直和.1()(0)V§7.6线性变换的值域与核在中取一组基：1(0)1,,rn则就是V的一组基.121,,,,,rrn显然有，1122,,,,rr120,0,,0.rrn在中取一组基：12,,r()V用矩阵表示即§7.6线性变换的值域与核121211(,,)(,,)00nn所以，A相似于矩阵11.00§7.6线性变换的值域与核1021121312552212A线性变换在此基下的矩阵为1)求及1(0).()V2)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，1(0)并求在这组基下的矩阵.并求在这组基下的矩阵.3)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，()V例3、设是线性空间V的一组基，已知1234,,,§7.6线性变换的值域与核解：1）先求设它在1(0).1(0),1234,,,下的坐标为1234(,,,).xxxx0,0,0,0.故123410210121301255022120xxxx由于有在下的坐标为()0,1234,,,()§7.6线性变换的值域与核解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：22/310,1201从而112322/3,是的一组基.1(0)112(0),.L由于的零度为2，所以的秩为2，又由矩阵A，有21242即为2维的.()V再求().V11234()22234()222§7.6线性变换的值域与核1234()(),(),(),()VL2）因为121212341021012/32,,,,,,00100001从而有所以，线性无关，12(),()12(),()L就是的一组基.12(),()()V12341(,,,)D§7.6线性变换的值域与核而1021012/3210,001000011D可逆.从而，线性无关，即为V的一组基.1212,,,在基下的矩阵为1212,,,11152009/2100.12002200DAD§7.6线性变换的值域与核3）因为1234123410001200(),(),,,,,1210220112342(,,,)D可逆.2D1000120020,12102201而§7.6线性变换的值域与核从而线性无关，即为V的一组基.1234(),(),,在这组基下的矩阵为12252219/213/22.00000000DAD