高等代数北大版8-2

§8.2λ─矩阵的标准形一、λ－矩阵的初等变换二、λ－矩阵的初等矩阵§8.2λ─矩阵的标准形三、等价λ－矩阵四、λ－矩阵的对角化§8.2λ─矩阵的标准形λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换:①矩阵两行（列）互换位置；②矩阵的某一行（列）乘以非零常数c；是一个多项式.()③矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，()一、λ－矩阵的初等变换定义：§8.2λ─矩阵的标准形代表第行乘以非零数c；[()]ici[(())]ij代表把第行(列)的倍加到第j()i为了书写的方便，我们采用以下记号代表两行(列)互换；[,]ij,ij注：行(列).§8.2λ─矩阵的标准形将单位矩阵进行一次―矩阵的初等变换所得的矩阵称为―矩阵的初等矩阵.二、λ－矩阵的初等矩阵定义：注：①全部初等矩阵有三类：i行j行11011011(,)Pij§8.2λ─矩阵的标准形11()(,(()))11piji行j行11(())11picci行§8.2λ─矩阵的标准形②初等矩阵皆可逆.1(,)(,)pijpij11(())(())cpicpi1(,(()))(,(()))pijpij③对一个的―矩阵作一次初等行变换sn()A就相当于在在的左边乘上相应的的初等矩()Ass阵；对作一次初等列变换就相当于在的右()A()A边乘上相应的的初等矩阵.nn§8.2λ─矩阵的标准形为－矩阵，则称与等价.()B()B()A―矩阵若能经过一系列初等变换化()A1)―矩阵的等价关系具有:反身性:与自身等价.()A对称性:与等价与等价.()A()A()B()B传递性:与等价,与等价()A()B()B()C与等价.()A()C三、等价λ－矩阵定义：性质：§8.2λ─矩阵的标准形2)与等价存在一系列初等矩阵()A()B11,StPPQQ使11()().StAPPBQQ1.（引理）设―矩阵的左上角元素()A11()0,a且中至少有一个元素不能被它整除，那么一定()A可以找到一个与等价的矩阵，它的左上()A()B角元素，且.11()0b1111(())(())ba四、λ－矩阵的对角化§8.2λ─矩阵的标准形证：根据中不能被除尽的元素所在的()A11()a位置，分三种情形来讨论:i)若在的第一列中有一个元素不能被()A1()ia11()a除尽，其中余式，且11()()rxa()0r对作下列初等行变换:()A11111()()()[1()]()()iaaAiqar111()()()(),iaaqr则有§8.2λ─矩阵的标准形[1,]11()().()irBa()B的左上角元素符合引理的要求，()r()B故为所求的矩阵.ii)在的第一行中有一个元素不能被()A1()ia11()a除尽，这种情况的证明i)与类似.iii)的第一行与第一列中的元素都可以被()A11()a除尽，但中有另一个元素()A()(1,1)ijaij§8.2λ─矩阵的标准形被除尽.11()a对作下述初等行变换:()A1111()()()()()jiijaaAaa1111()()0...()()()...jijjaaaa111()()().iaa我们设1()i§8.2λ─矩阵的标准形1111()()(1())()0()()()ijjijjaaaaa1()A矩阵的第一行中，有一个元素：1()A1()(1())()ijjaa不能被左上角元素除尽，转为情形ii).11()a证毕.1i§8.2λ─矩阵的标准形2.（定理2）任意一个非零的的一矩阵sn()A都等价于下列形式的矩阵12()()()00rddd其中1,()(1,2,,)irdir是首项系数为1的多项式，且1()()(1,2,,1).iiddir称之为的标准形.()A§8.2λ─矩阵的标准形证:经行列调动之后，可使的左上角元素()A11()0a,若不能除尽的全部元素，11()a()A由引理，可以找到与等价的，且()A1()B由引理，又可以找到与等价的，且1()B2()B如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－矩阵：左上角元素，1()0b111()().ba1()B若还不能除尽的全部元素，1()B1()b左上角元素，21()().bb2()B2()0b§8.2λ─矩阵的标准形但次数是非负整数，不可能无止境地降低.因此在有限步以后，将终止于一个λ－矩阵()sB它的左上角元素，而且可以除尽()0sb()sB的全部元素即(),ijb()()(),1,2,,;1,2,,.ijsijbbqjisjn对作初等变换:()sB12(),(),(),.ABB它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.§8.2λ─矩阵的标准形21312113[21()],[31()],[21()],[31()],1()000()()0sqqqqbBA中的全部元素都是可以被除尽的，1()A()sb因为它们都是中元素的组合.()sB如果，则对于可以重复上述过程，1()0A1()A进而把矩阵化成§8.2λ─矩阵的标准形122()000(),00()00ddA其中与都是首1多项式(与1()d2()d1()d()sb只差一个常数倍数），而且12()|(),dd2()d能除尽的全部元素.2()A如此下去，最后就化成了标准形.()A§8.2λ─矩阵的标准形例用初等变换化λ―矩阵为标准形.2232121()11A2[31]231211()0111A解：§8.2λ─矩阵的标准形2[1,3]3212110111312321211012[21(21),[31(1)]]3210000§8.2λ─矩阵的标准形2[2,3]2310000[32()]22100000[32(1)][3(1)]210000()00B即为的标准形.()B()A