等差数列求和第一课时[1]

一、巩固与预习1.{an}为等差数列，更一般的，，d=.2.a、A、b成等差数列A为a、b的.an+1-an=dan=a1+(n-1)dan=an+ba、b为常数an=am+(n-m)dmnaamn等差中项2baA2A=a+b在等差数列{an}中a1+ana2+an-1a3+an-2…===3.mnpqa+a=a+amnpq若则:}{项和为的前数列nannsnnaaaas...3211nnssna13211nnaaaas...第一课时高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？高斯（1777---1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。高斯“神速求和”的故事:情景1首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99=101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，······第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：.mnpqmnpqaaaa求S=1+2+3+······+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？50502100101S如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=14×3+7=49.还有其它算法吗？情景2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得：(410)749.2S倒序相加法2(410)(59)(68)(77)(86)(95)(104)S(410)7.怎样求一般等差数列的前n项和呢？12,.nnnnanSSaaa设等差数列的前项和为即12.nnSaaa11.nnnSaaa12112()()()nnnnSaaaaaa1().nnaa1211nnnaaaaaa1().2nnnaaS新课-------倒序相加法等差数列的前n项和公式1(1)naand2)1nnaanS（公式1公式2dnnnaSn2)11（dnnnaSn2)11（dnaan)1(1结论：知三求二(2)在等差数列中，如果已知五个元素中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?na1,,,,nnaandS(1)两个求和公式有何异同点？思考例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？练习:根据题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn10;n95,a5,(1)an150;n2,d100,(2)a11(3)14.5,0.7,32.nada500.295)(510S10解：2550)2(2)150501005050（解：S,2617.05.1432n解：.5.6042)325.14(2626S1()(1)2nnnaaS)()(2211dnnnaSn例2等差数列-10，-6，-2，2，…的前多少项的和为54？解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn.则a1＝-10，d＝-6-（-10）＝4，Sn＝54.由等差数列前n项和公式，得.5442)1(10nnn解得n1＝9，n2＝－3（舍去）.因此，等差数列的前9项和是54.练习：（1）等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30?（2）求等差数列13，15，17，…81的各项和15项1645例3.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，能否求其前n项和的公式.641dannnnnSn2362)1(431010S122020S由题设：122019020310451011dada得：解：:a,n关未知数的有求相应相应的等差根据下列条件:练;,999,54,20)1(1ndSaann及求;,629,37,31)2(1nnaaSnd及求27,1317)1(nd23,11)2(1naa知三求二1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;1n1()(()2(1))S2nnnaaSnnnad2、求和公式小结3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.②应用求和公式时一定弄清项数n.③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.思考：若Sn=an2+bn(a≠0)，则｛an｝是等差数列吗?作业：习题2.3.1.（3）（4）2.（3）（4）1．等差数列的定义：),2(*1Nnndaann)1(2)(1nnaanS2．等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.)2(2)1(1dnnnaSn4.等差数列的前n项和公式复习引入an＝am＋(n－m)d3等差数列的性质：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？2)1(1dnnnaSn当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddABa例1.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，能否求其前n项和的公式.13bannSn23bnanSn2由题设：12202040031010100baba得：解：练习：数列{an}的前n项和为Sn，S8=11,S7=12则a8=.科网例2.(1)若数列{an}的前n项和sn=n2+n，问数列{an}是否为等差数列？若是，求出首相和公差.(2)若数列{an}的前n项和sn=n2+n+1，问数列{an}是否为等差数列？若是，给予证明，若不是，说明理由.例3：已知数列}{na的前n项和12nsn，求}{na的通项公式。练习：数列{an}的前n项和Sn=3·2n-3,求数列{an}的通项公式.科网19907科网例4.已知数列{an}的首项a１＝１,其前n项和sn和an之间的关系满an＝)2(1222nSSnnnS1(1)求证:为等差数列；(2)求{an}的通项公式244,3,77nsns例4.已知等差数列:5,的前n项和为,求使得最大的序号n的值.对等差数列前项和的最值问题的方法:(1)利用nS：由(2)利用na:1a001nnaa当0，d0，前n项和有最大值。可由，求得n的值。001nnaa当0，d0，前n项和有最小值。可由，求得n的值。1an)2da(n2dS12n等差数列的前n项的最值问题例5.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得11313321113111022dd∴d=－2113(1)(2)2nSnnn214nn2(7)49n∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例4.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法２由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由100nnaa得152132nn等差数列的前n项的最值问题例4.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法３由S3=S11得d=－20∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn新坐标例3：等差数列{an}中，首项a1＜０，S9=S12，问：这个数列的前几项的和最小？变式训练：已知数列{an}是等差数列，且a1=50，公差d=－0.6.（1）从第几项开始an＜0;（2）求此数列的前n项和的最大值。求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.21()22nddSnan方法2:利用an的符号①当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥0求得.练习:１.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=3n-24,则n=___时,Sn有最_____值是_____.２.已知等差数列{an}中，a1=-25,S3=S8,则前n项和Sn中，n=____时，Sn最小.3.等差数列na前n项和为nS，已知131113,,aSSn为___时，nS最大.4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a10，S8＝S13，Sk＝0，则k的值为()A．18B．19C．20D．21例6：已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，求证：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差数列；⑵Sk，S2k-Sk，S3k-S2k（k∈N*）成等差数列性质1：若{an}是公差为d等差数列，Sn是其前n项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k（k∈N*）成公差为k2d等差数列1.设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）A．63B．45C．36D．272.在等差数列{an}中，S6=65，a7+a8+a9+a10+a11+a12=-15，则a13+a14+a15+a16+a17+a18=.3.等差数列}a{n前n项的和为nS，且3S3，7S6，则9S的值是（）。A．12B．15C．11D．84.已知}a{n是等差数列，前m项和为mS=30，前2m项和为mS2=100，求前3m项和mS3。6.等差数列}{na中，24321aaa，78201918aaa，则此数列前20项和为A．160B．180C．200D．2205.若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.7.已知等差数列na中，前15项之和为9015S，则8a等于8.等差数列}{na前n项的和为nS，且88S，129S，则17S的值是（）。A．17B．-17C．0D．68性质2：等差数列{an}中,则S2n-1=（2n-1)a中8.设nS是等差数列}{na的前n项和，若9535aa，则59SS的值=9.在等差数列}a{n中，若2021a，则41S=_____；例2.等差数列na、nb的前n项和为Sn、Tn.若),(27417NnnnTSnn求77ba；性质3.若{an}{bn}为等差数列，它们的前n项和为Sn，Tn则nnnnbaTS1212两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn求和.55abnnab556463ab146823nnanbn练习:例3(1)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（2）等差数列n