等差数列的定义及通项公式

等差数列的定义及通项公式1．通过实例，理解等差数列的概念．2．探索并掌握等差数列的通项公式．3．体会等差数列与一次函数的关系．1．等差数列．第2项常数公差一般地，如果一个数列从________起，每一项与它的前一项的差等于同一个________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母d表示．练习1：在等差数列{an}中，a2＝－5，d＝3，则a1＝()A．－9B．－8C．－7D．－4B2．首项为a1，公差为d的等差数列的通项公式是___________________．练习2：在等差数列{an}中，a1＝－5，d＝3，则a10＝____.an＝a1＋(n－1)d221．利用通项公式求第n项需要哪些条件？答案：首项，项数和公差．2．如何理解等差数列通项公式和一次函数之间的关系？是正整数．答案：通项公式an＝nd＋(a1－d)是关于n的一次函数，n题型1等差数列中的基本运算例1：在等差数列{an}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求a10；(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；(3)已知a5＝11，a8＝5，求a1，d，an；思维突破：由通项公式an＝a1＋(n－1)d，在a1，d，n，an四个量中，可由其中任意三个量求第四个量．(4)已知d＝－12，a7＝18，求a1.先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式．自主解答：(1)a10＝2＋(10－1)·3＝29.(2)由21＝3＋n－1·2，解得n＝10.(3)由等差数列的通项公式及已知，得a1＋4d＝11，a1＋7d＝5，解得a1＝19，d＝－2，所以an＝19＋(n－1)(－2)，即an＝－2n＋21.(4)已知a7＝a1＋(7－1)－12＝18，解得a1＝21.【变式与拓展】1．数列{an}的通项公式an＝3n＋5，则此数列()AA．是公差为3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列2．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？解：等差数列的通项公式为an＝－4n－1.∵－4n－1＝－401，∴n＝100.∴－401是等差数列－5，－9，－13，…的第100项．题型2求等差数列的通项公式例2：在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求它的通项公式．思维突破：给出等差数列的任意两项，可转化为关于a1与d的方程组，求得a1与d，从而求得通项公式．10＝a1＋4d，31＝a1＋11d，解得a1＝－2，d＝3.∴等差数列的通项公式为an＝3n－5.自主解答：解法一：由an＝a1＋(n－1)d，得解法二：由an＝am＋(n－m)d，得a12＝a5＋(12－5)d＝a5＋7d，即31＝10＋7d，∴d＝3.∴an＝a5＋(n－5)d＝10＋(n－5)×3＝3n－5.∴等差数列的通项公式为an＝3n－5.求等差数列的通项公式：①确定首项a1和公差d，需建立两个关于a1和d的方程，通过解含a1与d的方程求得a1与d的值；②直接应用公式an＝am＋(n－m)d求解．【变式与拓展】3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an－1(n∈N)，则数列的通项an＝()DA．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n4．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.求数列{an}的通项公式．解：由a1＋a2＋a3＝12，得3a2＝12，即a2＝4.∴d＝a2－a1＝2.∴an＝2n.例3：判断下列数列是否是等差数列．(1)an＝4n－3；(2)an＝n2＋n.试解：(1)∵an＋1－an＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4，∴{an}为等差数列．(2)由an＝n2＋n知：a1＝2，a2＝6，a3＝12，a2－a1≠a3－a2，∴{an}不是等差数列．易错点评：易用特殊代替一般，验证前几项后就得出结论，等差数列在定义中的要求是“任意的后一项与前一项的差是常数”，不是“确定的后一项与前一项的差是常数”．1．用好等差数列的定义与掌握好等差数列的通项公式是关键，在写等差数列通项公式时，要注意n的取值围．2．等差数列常见的判定方法．(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)．(2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2，证明三个数a，b，c成等差数列，一般利用等差中项证明b＝a＋c2.(3)通项公式为n的一次函数：an＝kn＋b(k，b为常数)．3．题设中有3个数成等差数列时，一般设这3个数为a－d，a，a＋d.若5个数成等差数列，一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.有时也可直接设为等差数列的通项形式，具体问题具体分析，设的目的是便于计算，要灵活选择设的方法．4．等差中项有广泛应用，要准确理解其含义．