1.3.1二项式定理(公开课)

先看下面的问题若今天是星期四，20天后是星期几？再过810天后的那一天是星期几？10108=(7+1)数学问题:（a+b）n的展开式是什么？1.3.1二项式定理在两个袋子中分别取一个球，共有多少种结果？abab(a+b)2=a2+2ab+b2你能发现这两个问题的相似之处吗？aaababbb在三个袋子中分别取一个球，共有多少种结果？abababaaa×aba×bba×bbb×1331由此你能推出下面的式子吗？(a+b)3=(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a3+a2b+ab2+b3如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数?(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每个括号都不取b，只有种取法得到a4；(2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b；(3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2；(4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3；(5)若每个括号都取b，共有种取法得b4.04C14C24C34C44C(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4那么(a+b)n=?n0n1n-1kn-kknnnnnn(a+b)=Ca+Cab+...+Cab+...+Cb.n0n1n-1kn-kknnnnnn(a+b)=Ca+Cab+...+Cab+...+Cb.二项式定理：对二项式定理的理解（1）它有n+1项;（2）各项的次数都等于二项式的次数n;（3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0;字母b按升幂排列，次数由0递增到n.n0n1n-1kn-kknnnnnn(a+b)=Ca+Cab+...+Cab+...+Cb.二项式定理：2二项式系数我们看到的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数()叫做二项式系数（binomialcoefficient）.k0,1,2,...,nknCn0n1n-1kn-kknnnnnn(a+b)=Ca+Cab+...+Cab+...+Cb.二项式定理：3通项式中的叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：kn-kknCabkn-kkk+1nT=Cabn0n1n-1kn-kknnnnnn(a+b)=Ca+Cab+...+Cab+...+Cb.二项式定理：你能用个类似数列通项公式的式子来表示这些展开式的规律吗？(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnkxk+…+Cnnxn若令a=1,b=-x，则展开式又如何？(a+b)n＝Cn0an＋Cn1an-1b＋Cn2an-2b2＋‥·＋Cnkan-kbk＋‥·＋Cnnbn(n∈N*)若令a=1,b=x，则得到：(1-x)n=1-Cn1x+Cn2x2+…+(-1)kCnkxk+…+(-1)nCnnxn例题1用二项式定理展开下列各式：64)x1x(2(2))x1(x(1)解:313444411+Cx()+C()xx422411=x+4x+6+4()+()xx404131222444111(1)(x+)=Cx+Cx()+Cx()xxx（2）先将原式化简，再展开，得666312x-11(2x-)=()=(2x-1)xxx6152433425666666631=(2x)-C(2x)+C(2x)-C(2x)+C(2x)-C(2x)+Cx6543231=(64x-6*32x+15*16x-20*8x+15*4x-6*2x+1)x322360121=64x-192x+240x-160+-+.xxx引例：若今天是星期四，20天后是星期几？再过810天后的那一天是星期几？10108=(7+1)010192891001010101010777...77CCCCC余数是1，则再过810天后的那一天是星期五。例题2(1)写出(1+2x)7的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中x3的系数。91()xx解题归纳：利用通项公式解决问题比较简单规范。例题3求二项式的展开式中的有理项.73)213(分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂）方法二用定理展开（次数较小时使用）答案：4105课堂小结1.二项式定理二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明.2.二项式定理的特点(1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式(2)系数(3)指数：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列.1.（2004年安徽、河北卷）在的展开式中，常数项是______.A.14B.－14C.42D.－42高考链接73)x1(2x解析：,x21)(C)x1()(2xCk2721k7kk7kk73k71kT0,k27211421)(C667则k=6，故展开式中的常数项是,选答案A.令2.（2005年全国高考上海卷）在(x-a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a的值为_______.-1/2.21a15,aC,x1)(aCa)(xCT33107333103731013解析：