1.3.1单调性与最大(小)值

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？问题1画出f(x)=x的图像，并观察其图像。2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降____?上升(-,)增大1、在区间________上，f(x)的值随着x的增大而______.问题2画出的图像，并观察图像.2f(x)=xo5-5-552、在区间________上，f(x)的值随着x的增大而_____.(-∞,0](0,+∞)减小2f(x)=x增大函数单调性的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1.1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数,如图2.yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图21、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)分别是增函数和减函数.xy21013对于函数y=f(x)，若在区间I上，当x＝1时,y＝1;当x＝2时,y＝3,能说在区间I上函数值y随自变量x的增大而增大吗?如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数的单调性定义例1.下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数?解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差（4）定号（5）结论根据单调性的定义得结论即取是该区间内的任意两个值且12x,x12xx即求（3）变形通过因式分解、配方、有理化等方法12f(x)-f(x)即根据给定的区间和的符号来确定的符号21x-x12f(x)-f(x)例2求证：函数在区间上是单调增函数．1f(x)=--1x0+，，则证明：在区间（0，+∞）上任取两个值且12x,x12xx12121212x-x11f(x)-f(x)=-+=xxxx又因为，，所以说12x-x012xx012f(x)-f(x)0即函数在区间（0，+∞）上是单调增函数.1f(x)=--1x探究画出反比例函数的图象．1这个函数的定义域是什么？2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．1y=xxy0{x∣x≠0}分两个区间(0，+∞)，（-∞，0）来考虑其单调性.函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数.f(x1)-f(x2)=211212x-x11-=xxxx由于x1,x2得x1x20,又由x1x2得x2-x10所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).0,+证明：（1）在区间(0，+∞)上，设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1x2，则（2）在区间（-∞，0）上，同理可得到函数f(x)=1/x在（-∞，0）上是减函数。下列两个函数的图象：图1ox0xMyyxox0图2M观察观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？思考设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？思考f(x)M2fx=-x+1xR数∈例如函ƒ(0)=1O122、存在0，使得ƒ(0)=1.1、对任意的都有ƒ(x)≤1.xR1是此函数的最大值知识要点M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）：0xI一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值0f(x)=M一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：（1）对于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在，使得，那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimunvalue）.0xI0f(x)=M能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？思考函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？思考是如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2，使对定义域内任意x都有成立，由此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？思考12f(x)f(x)f(x)函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.探究:函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数y=f(x)在区间[m，n](mn)上单调递增，则函数y=f(x)的最值是什么？mnf(m)Oxyf(n)当x=m时，f(x)有最小值f(m)，当x=n时,f(x)有最大值f(n).(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？mnf(m)Oxyf(n)当x=m时，f(x)有最大值f(m)，当x=n时，f(x)有最小值f(n).(3)若函数则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？2f(x)=a(x-l)+h(a0,mln)mnf(m)Oxyf(n)lf(l)最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中较小者.24..htht=-4.9t+14.7t+18,?1?例菊花烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度米与时间秒之间的关系为:那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻这时距地面的高度是多少精确到米解：做出函数的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.2h(t)=-4.9t+14.7t+18oth43215101520由二次函数的知识，对于函数2h(t)=-4.9t+14.7t+18，我们有当时，函数有最大值14.7t=-=1.52(-4.9)24(-4.9)18-14.7h=294(-4.9)所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为29m.例5已知函数，求函数的最大值与最小.1f(x)=(x[3,5])x-2分析：由函数的图象可知道，此函数在[3，5]上递减。所以在区间[3，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值.解：设是区间[3，5]上的任意两个实数，且，则12x,x12xx212112121212(x-2)-(x-2)x-x11f(x)-f(x)=-==.x-2x-2(x-2)(x-2)(x-2)(x-2)由于得123xx5,1221x-x0,(x-2)(x-2)0,于是12f(x)-f(x)0即12f(x)f(x)所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1，在x=5时取得最小值为0.5.课堂小结2、函数单调性的定义；3、证明函数单调性的步骤；1、单调函数的图象特征；4、函数的最值：最大值最小值5、函数的最值的求法（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值;（2）利用图象求函数的最值;（3）利用函数单调性求函数的最值.高考链接12007fx=1-x（年广东）函数在区间的最小值为23课堂练习1.填表函数单调区间y=kx+bk0（）ky=(k0)xk0k0(-,+)k0k0增函数减函数减函数增函数单调性2y=ax+bx+c(a0)函数单调区间单调性a0a0增函数增函数减函数减函数12.y=x2,5x函数∈的最大值为最小值为3.f(x)-,2,2,+fx已知函数在∞上单调递增在∞上单调递减则有值为最大f(2)0.50.224.y=x+4x+2-3,5函数在区间上的最小值为-2