1.3.1空间几何体的表面积与体积

一、柱体、锥体、台体的表面积•(1)矩形面积公式：__________。•(2)三角形面积公式：_________。•正三角形面积公式：_______。•(3)圆面积面积公式：_________。•(4)圆周长公式：_________。•(5)扇形面积公式：__________。•(6)梯形面积公式：__________abSahS21243aS2rS2CrhbaS)(21复习回顾12slr柱体锥体台体球几何体的分类多面体旋转体在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的表面积怎样得到的几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？正棱柱的侧面展开图是什么？h正棱柱的侧面积如何计算？表面积如何计算？正棱锥的侧面展开图是什么？h'h'侧面展开正棱锥的侧面积如何计算？表面积如何计算？正棱台的侧面展开图是什么？侧面展开h'h'正棱台的侧面积如何计算？表面积如何计算？棱柱、棱锥、棱台的表面积h'h'一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和表面积=侧面积+底面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．BCAS例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCASaaaBDSBSD2322222所以：243232121aaaSDBCSSBC因此，四面体S-ABC的表面积．交BC于点D．解：先求的面积，过点S作SBCBCSD典型例题223434aaS因为aBC•求多面体的表面积可以通过求各个平面多边形的面积和得到,那么旋转体的表面积该如何求呢?思考)(2222lrrrlrS圆柱表面积rlr2)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr)(22rllrrrSr2lOrO’'r'2rlrrrrS222122lOrO’'rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS)(22rllrrrSr’＝r上底扩大r’＝0上底缩小三者之间关系圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？2cmcm15cm20cm15解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：2225.11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是999．2cm典型例题)(22rllrrrS圆台表面积各面面积之和rr0r小结：展开图22()Srrrlrl圆台圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥空间问题转化成平面问题棱柱、棱锥、棱台圆柱、圆锥、圆台所用的数学思想：柱体、锥体、台体的表面积二、柱体、锥体、台体的体积面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的.你知道面积和体积的含义吗？面积:平面图形所占平面的大小体积:几何体所占空间的大小长方体体积：正方体体积：圆柱的体积：Vabh3Va2VrhVShabhaaah底面积高柱体体积aa2以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：柱体体积柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：ShV（其中S为底面面积，h为柱体的高）VSh椎体（圆锥、棱锥）的体积公式：ShV31锥体体积（其中S为底面面积，h为高）h由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的．13台体（棱台、圆台）的体积公式hSSSSV)(31台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，h为柱体高ShVSS分别为上、下底面面积，h为台体高ShV310SS为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小,SS柱体、锥体、台体的体积ShV31锥体hSSSSV)(31台体柱体ShV'SS0'S知识小结21.,am已知圆锥的表面积且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米？cm15cm20cm15例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？3/8.7cmg解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:10)210(14.3106124322V)(29563mm)(956.23cm所以螺帽的个数为252)956.28.7(10008.5（个）答：这堆螺帽大约有252个．典型例题半径为R的球的表面积公式24SR半径为R的球的体积343VR将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？123123思考：取一些书堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从以上事实中你得到什么启发？（二）柱体、锥体、台体的体积思考3:关于体积有如下几个原理：（1）相同的几何体的体积相等；（2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；（3）等底面积，等高的两个同类几何体的体积相等；（4）体积相等的两个几何体叫做等积体.ShSS棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．hV柱体=sh将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？BAB1CC1A1B1CC1A1BB1CA1BACA1棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的13V锥体=sh13台体（棱台、圆台）的体积1()3VhSSSS台体VVV大锥小锥1133113313ShShSSSSShSSShhSSSSShxSS11=33SxhSx11=33ShSSx2xSxhSxSxhSShxSSSShx柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系''1()3VSSSSh上底扩大VSh'SS'0S上底缩小13VSh各面面积之和总结：展开图22()Srrrlrl圆台圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥棱柱、棱锥、棱台圆柱、圆锥、圆台柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的体积ShV31锥体hSSSSV)(31台体柱体ShV柱体、锥体、台体的体积ShV31（其中S为底面面积，h为高）由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．31经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的．即棱锥的体积：31锥体体积棱台（圆台）的体积公式hSSSSV)(31其中，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．SS台体体积例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？3/8.7cmg解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:10)210(14.3106124322V)(29563mm)(956.23cm所以螺帽的个数为252)956.28.7(10008.5（个）答：这堆螺帽大约有252个．典型例题柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和rr0r知识小结展开图)(22rllrrrS圆台圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥柱体、锥体、台体的体积ShV31锥体hSSSSV)(31台体柱体ShV'SS0'S知识小结台体体积由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)．根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和rr0r知识小结展开图)(22rllrrrS圆台圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥空间问题转化成平面问题所用的数学思想：ShV31（其中S为底面面积，h为高）经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的．即棱锥的体积：31锥体体积ShV31一般椎体的体积也是：其中S为底面面积，h为椎体的高．