2.5.1 平面几何中的向量方法(使用)

2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法●复习1．若a＝(1,2)，b＝(x,1)，且a＋2b与2a－b平行，则x等于()A．2B．1C．12D．13[答案]C2．有四个式子：(1)0a＝0；(2)0·a＝0；(3)0－AB→＝BA→；(4)|a·b|＝|a||b|，其中正确的个数为()A．4B．3C．2D．1[答案]B•3．已知a＝(5,10)，b＝(－3，－4)，c＝(2,3)，且c＝la＋kb，则l＝________，k＝________.[答案]110－12由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：__________________________．a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：__________________________．(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式__________________________.(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)cosθ＝a·b|a||b|思考1如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？ABCD思考2:在平行四边形ABCD中，设向量则向量等于什么？向量等于什么？ABa，ADbACDBDBab,ACab.ABCD2222222,4,24,24,1.2abababaabbaabbab由得=4即（）:2,1,-23,?abababAC利用如何求思考等于多少？22222||()226.ACababaabbaabbABCD例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图2.5-1，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗？ABCDACABAD,DBABAD,,,.ABaADbACabDBab设，则图2.5-1222()()2(1)ACACACababaaabbabbaabb2222(2)DBaabb同理222222(1)(2)2()2().得ACDBabABAD平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：总结几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化例2.如图2.5-2，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABDEFRTC猜想：AR=RT=TC图2.5-2ABa,ADb,ARr,ACab.解设：则由于与共线，故设因为ARACrn(ab),nR，又因为共线，所以设EREB与1ERmEBm(ab).2因为所以ARAEER，11rbm(ab).221122()()因此，nabbmab1EBABAEab,2ABDEFRTC图2.5-2m1(nm)a(n)b0.2即a,b向量不共线,nm0m1n0.2，nm.1解得：=3111ARAC,TCAC,RTAC.333ATRTTC.所以同理于是故利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求m、n的值，是处理线段长度关系的一种常用手段.总结AOBCFEGNML.GNFMELNMLGFE于一点且互相平分交、、边的中点，求证：线段分别是所在、、、、、如图点变式3、TAOBCFEGNML.rOC,qOB,pOA设)rqp(41)OGON(21OTTTTELMFNG21，则：、、分别为的中点、、又设T:解),rqp(41OT1同理：)rqp(41OT2例3.若正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cosDOE.ABCOxy解：以O为坐标原点，以OA、OC所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，分析：建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角.探究二（角度问题）ED11(1),(,1)2211(1),(,1)22DEODOE则，，，，cos1111422.55522ODOEDOEODOEABCOxyED建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁.总结如右图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP、EF，求证：DP⊥EF.[证明]设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0a1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a，∴DP→·EF→＝(DA→＋AP→)·(EP→＋PF→)＝DA→·EP→＋DA→·PF→＋AP→·EP→＋AP→·PF→＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋2a×a×cos45°＋2a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.∴DP→⊥EF→，即DP⊥EF.1.ABCDABBC=0AB=DCABCD.A.B.C.D.在四边形中，且，则四边形是（）平行四边形矩形菱形正方形BAB=DCABCDABBC=0ABBCABC=90.ABCD.由可知，四边形为平行四边形，又，，即°四边形解：为矩形析OBOC)OBOC-2OA)=0(OBOAOC-OA)0CB(ABAC)0CB(2AM)0(MBCCBAMABC.((，CB，解，为的中点)，，△为等腰：三角形析222OABC(OBOC)(OBOC2OA)0ABCA.B.C.D..(01济南高一检测)是三角形内一点，且则三角形的形状为（）等腰三角形等边三角形直角三角形以上皆错A1.用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基底,用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算,进而解决问题.2.要掌握向量的常用知识①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等.变式4、