2.5.2 利用函数的图象解一元二次方程

第二章二次函数第5节二次函数与一元二次方程第2课时利用函数的图象解一元二次方程1课堂讲解利用函数的图象解一元二次方程利用二次函数的图象解一元一次不等式2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？如图是函数y=x2+2x-10的图象.由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间.(1)先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索：x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.110.56因此，x=-4.3是方程的一个近似根.另一个根可以类似地求出：因此，x=2.3是方程的另一个近似根.用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果.x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.110.561知识点利用二次函数的图象解一元二次方程1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；(2)确定二次函数的图象与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个整数之间；(3)列表，在两个整数之间取值，并用计算器算出对应的y值，当x由x1变到x2，对应的y值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且|y1|≠|y2|时，x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，则x2是方程的近似根．知1－讲2．利用图象交点法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的步骤：(1)将方程化为ax2＝－bx－c(或x2＝)的形式．(2)在同一平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2与直线y＝－bx－c.(3)观察图象，①若抛物线与直线无公共点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根；②若抛物线与直线只有一个公共点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，公共点的横坐标即为方程的实数根；若抛物线与直线有两个公共点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，公共点的横坐标即为方程的实数根．知1－讲-bcxaa（来自《点拨》）导引：当y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如图所示．例1利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根．知1－讲解：在平面直角坐标系内作函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图，由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间．(1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索：因此x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似根．知1－讲（来自《点拨》）x－1.1－1.2－1.3－1.4－1.5y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25(2)另一根可以类似地求出：因此x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根．知1－讲（来自《点拨》）x3.13.23.33.43.5y－6.41－6.84－7.29－7.76－8.25解：先把方程化成x2＝－2x＋3.如图，在同一直角坐标系中分别画出函数y＝x2和y＝－2x＋3的图象，得到它们的交点为(－3，9)和(1，1)，则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.例2利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的根．知1－讲（来自《点拨》）总结知1－讲（来自《点拨》）利用图象交点法求一元二次方程的根的步骤：(1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式；(2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图象；(3)观察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋c＝0的根．1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为()A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝x2＝－1C．x1＝x2＝3D．x1＝－1，x2＝3知1－练（来自《典中点》）2如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.61)，B(2.68，0.44)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解只可能是()A．2.18B．2.68C．－0.51D．2.55知1－练（来自《典中点》）3根据下面表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是()A.3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26知1－练（来自《典中点》）x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.092知识点利用二次函数的图象解一元二次不等式知2－讲根据图象可直观地回答使得y的值大于、等于或小于零时x的取值(范围)，具体如下表所述：图象函数值自变量的取值(范围)y＞0x＜x1或x＞x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x1＜x＜x2y＞0x1＜x＜x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x＜x1或x＞x2知2－讲例3画出抛物线y＝－x2＋4x＋5，观察抛物线，回答下列问题：(1)x为何值时，函数值y＞0?(2)x为何值时，函数值y＝0?(3)x为何值时，函数值y＜0?导引：根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线与x轴和y轴的交点，当函数值y＞0时，对应图象上的点在x轴上方；当函数值y＝0时，对应图象上的点位于x轴上；当函数值y＜0时，对应图象上的点在x轴的下方．知2－讲解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5＝－(x2－4x＋4)＋9＝－(x－2)2＋9.∴抛物线的顶点坐标为(2，9)，对称轴为直线x＝2.令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0，∴x1＝5，x2＝－1.∴抛物线与x轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．令x＝0，则y＝5，即抛物线与y轴的交点为(0，5)．由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为(4，5)．在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的图象．观察图象会发现：(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0（来自《点拨》）总结知2－讲（来自《点拨》）(1)作抛物线y＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＞0)一般采用“五点法”，而这“五点”一般为抛物线顶点，与x轴的两交点，与y轴的交点及它关于对称轴的对称点．(2)根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，抛物线在x轴上方的部分，对应的函数值大于0；抛物线在x轴下方的部分，对应的函数值小于0；抛物线与x轴的公共点，对应的函数值等于0.知2－讲例4〈齐齐哈尔〉抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2.正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4C知2－讲导引：观察图象可知二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数解，所以Δ＝b2－4ac0，即4ac－b20，故①正确；因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，所以－＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正确；由二次函数图象的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点位于(0，0)和(1，0)之间，所以当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c0，故③正确；由于二次函数在对称轴两侧的增减性不一样，当x1x2－1时，y1y2；当－1x1x2时，y1y2；当x1＜－1＜x2且－1－x1＝x2－(－1)时，y1＝y2，所以④错误．所以此题正确的结论有3个．故选C.（来自《点拨》）ba2总结知2－讲（来自《点拨》）对于抛物线y＝ax2＋bx＋c(bc≠0)，a决定抛物线的开口方向，当a0时抛物线开口向上，当a0时抛物线开口向下；a，b共同决定对称轴位置，当a，b同号时，对称轴在y轴左侧；当a，b异号时，对称轴在y轴右侧；c为抛物线与y轴交点的纵坐标，当c0时，抛物线与y轴交于正半轴(x轴上方)，当c0时，抛物线与y轴交于负半轴(x轴下方)．b2－4ac的符号决定抛物线与x轴交点的个数，当b2－4ac0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有唯一一个交点；当b2－4ac0时，抛物线与x轴没有交点．1(中考·牡丹江)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a0)如图，则关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集是()A．x2B．x－3C．－3x1D．x－3或x1知2－练（来自《典中点》）2(2015·咸宁)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．下列结论：①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个知2－练（来自《典中点》）利用图象求一元二次方程的根的方法：直接画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．其步骤一般为(1)作出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；(2)观察图象与x轴交点的个数；(3)若图象与x轴有交点，估计出图象与x轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根．图象函数值自变量的取值(范围)y＞0x＜x1或x＞x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x1＜x＜x2y＞0x1＜x＜x2y＝0x＝x1或x＝x2y＜0x＜x1或x＞x21.必做:完成教材P57习题2.111-32.补充:请完成《典中点》剩余部分习题