2.5_初等变换与初等矩阵

1第2.5节初等变换与初等矩阵2一、矩阵的初等变换二、初等矩阵三、用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵主要内容:3一、矩阵的初等变换线性方程组的一般形式mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111什么是初等变换?4用矩阵形式表示此线性方程组：1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb令12nxxxx12mbbbbijmnAa则，线性方程组可表示为Axb5如何解线性方程组？可以用消元法求解。始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．6若记11121121222212()nnmmmnmaaabaaabBAbaaab则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B（方程组的增广矩阵）的变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．基本思想:对线性方程组的增广矩阵进行初等变换,简化未知量的系数,把其变形为与原方程同解且易直接求解的阶梯形方程组bAx][bAA初等行变换化为阶梯形][dDDdDx同解方程组即:][bAA初等行变换:111211,1112212,122,1100000000000000000000rrnrrnrrrrrnrrssssstsssstssstt化为行阶梯形矩阵则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与原方程组同解。1,1112,122,11100010001(3)00000000000000000rnrnrrrnrrccdccdccdd化为行最简形矩阵由矩阵（3）可讨论原方程组的解的情况1)若，则方程组无解。10rd2)若10,rd则方程组有解，当rnrn有唯一解。有无穷多解。3)特别地，原方程组的导出组，即对应的齐次线性方程组一定有解。当rnrn有唯一的零解。有无穷多解，即有非零解。11即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行3种初等运算：(1)对调矩阵的两行。(2)用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。(3)将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后加到另一行对应元素上。统称为矩阵的初等行变换12定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk同理可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”)．13矩阵的初等变换初等列变换初等行变换通常称(1)对换变换(2)倍乘变换(3)倍加变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或14等价关系的性质：；反身性）（AA1A;B,BA2则若对称性）（具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价定义2：BA:BABA等价，记作与就称矩阵，成矩阵经过有限次初等变换变如果矩阵CACBBA)3(则，，如果传递性15用矩阵的初等行变换解方程组（1）：97963422644121121112B197963211322111241211B21rr23r16331000620000111041211B979632113221112412111B13322rrrr143rr234330635500222041211B13322rrrr143rr23252rrr243rr17500000310003011040101B310006200001110412113B43rr342rr400000310000111041211B43rr342rr21rr32rr18对应的方程组为5B33443231xxxxx方程组的解可记作或令,3cx3344321cccxxxxx30340111c.为任意常数其中c19.54都称为行阶梯形矩阵和矩阵BB特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；500000310003011040101B（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．非零行的首非零元逐行增加.20.15的其他元素都为零列，且这些非零元所在的元为即非零行的第一个非零行标准形），还称为行简化矩阵（或行阶梯形矩阵B.,Anm和行简化矩阵变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵注意：行简化矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．24定义3：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.1二、初等矩阵25，得初等方阵两行，即中第对调)(,jirrjiE1101111011),(jiE行第i行第j(1)对调两行或两列，得初等对换矩阵。26)).(()(0kiEkriki矩阵，得初等行乘单位矩阵的第以数1111))((kkiE行第i(2)以数0k乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。27，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以)([)(ijjikccjiEkkrrijEk1111))((kkijE行第i行第j(3)以数0k乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等倍加矩阵。28),(),(1；则的逆变换是其本身，变换jiEjiErrji));1(())((11kiEkiEkrkrii则，的逆变换为变换.))(())(()(1kijEkijErkrkrrjiji则，的逆变换为变换初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。29初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵例1：计算111212122231323100(1)00001nnnaaakaaaaaa111212122231323nnnaaakakakaaaa3011122122313210(2)010001kaaaaaa1131123221223132akaaaaaaa111213212223313233100(3)001010bbbbbbbbb111312212322313332bbbbbbbbb定理：阶初等矩阵。乘一个相应的的右边相当于在施行一次初等列变换，对阶初等矩阵；的左边乘一个相应的相当于在施行一次初等行变换，矩阵，对是设nAAmAAnmA证明：具体验证即可行上，即倍加到第行的第施行倍加变换，将按行分块，对设ikjAAA32另两种情形同理可证AkijE))((mjik11111mjjik11ijirkrjmA1ijjmk33.A,AkikiAEkiAkiE列乘的第表示行乘的第表示.A,A列上加到第列乘的第表示行上加到第行乘的第表示jkikijAEikjAkijE.A,,A,列对换列与第的第表示行对换行与第的第表示jijiAEjiAjiE一般记法：341321321)(PPPPPP及求例2：(1)设初等矩阵12310010101001100010001111PPckP35解：123(1)00101101001100011000111PPPkc001001001000001c111k00100001000001kc3611111111000000100100100321kPcPP1111123321()PPPPPP1111k1111c00100100100000011111kc1111kc001001001000000137543432321001010100100012001,:)2(2121BPPABPPA其中求已知解：100123001210234010001345100A12301234500101010032121054338三、用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.定理：可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积推论1：39等号两边右乘1,A121()sPPPEA推论2：A如果对可逆矩阵和同阶单位矩阵作同样的初等EA行变换，那么当变成单位矩阵时，就变成。EE1A21,sPPPAE即，1,AEEA，初等行变换40.,3431223211AA求设解：例3：103620012520001321100343010122001321EA213123rrrr1232rrrr41111100012520011201111100563020231001.111253232311A10013235010322001111132325rrrr23(2)(1)r