【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系课件

第3讲直线与圆锥曲线的位置关系考向分析核心整合热点精讲阅卷评析考向分析考情纵览年份考点20112012201320142015ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ直线与圆锥曲线的位置关系1020(2)弦长、面积问题108、21(2)10、20(2)10、20(2)5、16求轨迹方程21(1)20(1)真题导航1.(2015新课标全国卷Ⅰ,文5)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|等于()(A)3(B)6(C)9(D)12解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线l的方程为x=-2①,设椭圆E的方程为22xa+22yb=1(ab0),所以椭圆E的半焦距c=2,又椭圆E的离心率为12,所以a=4,b=23,椭圆E的方程为216x+212y=1②,联立①②,解得A(-2,3),B(-2,-3)或A(-2,-3),B(-2,3),所以|AB|=6,选B.B2.(2014新课标全国卷Ⅱ,文10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|等于()(A)303(B)6(C)12(D)73C解析:抛物线C:y2=3x的焦点为F(34,0),所以AB所在的直线方程为y=33(x-34),将y=33(x-34)代入y2=3x,消去y整理得x2-212x+916=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=212,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=212+32=12,故选C.3.(2014新课标全国卷Ⅰ,文20)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4,设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y),由题设知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,则(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.解：(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为4105,|PM|=4105,所以△POM的面积为165.(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.备考指要1.怎么考一般以椭圆或抛物线为背景,考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积问题、以及圆锥曲线与向量的交汇问题,题型主要有选择题、解答题,属中高档难度.2.怎么办(1)当直线与圆锥曲线相交时,涉及的问题有弦长、弦的中点、三角形的周长或面积等问题,解决办法是把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,设而不求,利用根与系数的关系解决问题.(2)涉及平面向量运算时,有时需转化为坐标的运算,或者利用平面几何性质进行转化,例如垂直、中点等.核心整合1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个未知数借助判别式Δ与0的关系确定直线与圆锥曲线的关系,特别地,当直线与双曲线的渐近线平行时,该直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行时,该直线与抛物线只有一个交点.2.有关弦长问题有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|=21k|x2-x1|或|P1P2|=211k|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形:|x2-x1|=21212()4xxxx,|y2-y1|=21212()4yyyy.(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接计算弦长.3.弦的中点问题有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算.温馨提示(1)若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题,一般可利用圆锥曲线的定义去解决.(2)在直线与圆锥曲线的问题中,要充分重视根与系数的关系和判别式的运用.(3)涉及直线与抛物线相切问题时,可以借助导数求解.热点精讲热点一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】(1)(2015兰州检测)若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆29x+24y=1的交点个数为()(A)至多一个(B)2(C)1(D)0解析:(1)因为直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,知224mn2,即m2+n24.所以点(m,n)在椭圆29x+24y=1的内部,因此过点(m,n)的直线与椭圆29x+24y=1的交点有2个,故选B.(2)若过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则这样的直线有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条解析：(2)结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).故选C.方法技巧判断直线与圆锥曲线的位置关系有两种常用方法(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.(2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.举一反三1-1:(1)过定点A的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,这样的l的条数是()(A)0或1(B)1或2(C)0或1或2(D)1或2或3解析:(1)①当A在抛物线的外部时,共有三条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线,一条与抛物线的对称轴平行);②可以想象,当A在抛物线上时,有两条直线与抛物线只有一个公共点;③当A在抛物线的内部时,只有一条直线与抛物线只有一个公共点.故选D.(2)已知直线x=1过椭圆24x+22yb=1的焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是()(A)k∈[-12,12](B)k∈(-∞,-12]∪[12,+∞)(C)k∈[-22,22](D)k∈(-∞,-22]∪[22,+∞)解析：(2)易知椭圆中c2=a2-b2=4-b2=1,即b2=3,所以椭圆方程是24x+23y=1,联立y=kx+2可得(3+4k2)x2+16kx+4=0.由Δ≤0可解得k∈[-12,12].故选A.热点二弦长、面积问题【例2】(2015南昌一模)已知圆E:x2+(y-12)2=94经过椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点F1,F2,且与椭圆C在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,不经过A点的直线l交椭圆C于M,N两点,且MN=λOA(λ≠0).(1)求椭圆C的方程;解:(1)如图,连接AF2,AF1,圆E经过椭圆C的左、右焦点F1,F2,且F1,E,A三点共线,所以F1A为圆E的直径,所以AF2⊥F1F2,由x2+(0-12)2=94,得x=±2,即c=2.|AF2|2=|AF1|2-|F1F2|2=9-8=1,2a=|AF1|+|AF2|=4,所以a=2,从而b=2,故椭圆C的方程为24x+22y=1,解:(2)点A的坐标(2,1),由MN=λOA(λ≠0),知直线l的斜率为22,故设直线l的方程为y=22x+m,222,21,42yxmxy所以x2+2mx+m2-2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2m,x1x2=m2-2,Δ=2m2-4m2+80,所以-2m2,(2)当三角形AMN的面积取到最大值时,求直线l的方程.|MN|=221+2（）|x2-x1|=212121142xxxx（）=2123m,点A到直线l的距离d=63m,S△AMN=12|MN|·d=122123m×63|m|=2222(4)mm≤22×2242mm=2,当且仅当4-m2=m2,即m=±2时,三角形AMN的面积最大,此时直线l的方程为y=22x±2.方法技巧(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不存在时,可直接求交点坐标再求弦长;(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.(3)圆锥曲线中的面积问题要注意面积公式的选择.举一反三21:如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;解:(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),由已知得,5,4PPxxyy因为P在圆上,所以x2+(54y)2=25,即点M的轨迹C的方程为225x+216y=1.(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度.解：(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=45(x-3)代入C的方程,得225x+2(3)25x=1,即x2-3x-8=0.所以x1=3412,x2=3412.所以线段AB的长度为|AB|=221212()()xxyy=21216(1)()25xx=414125=415.热点三求轨迹方程【例3】已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为24x+23y=1(x≠-2).解：(2)对于曲线C上任意一点D(x,y),由于|DM|-|DN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=23.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则QPQM=1Rr,可求得Q(-4,0),(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.所以可设l:y=k(x+4),由l与圆M相切得231kk=1,解得k=±24.当k=24时,y=24x+2代入24x+23y=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=4627.所以|AB|=21k|x2-x1|=187.当k=-24时,由图形的对称性可知|AB|=187.综上,|AB|=23或|AB|=187.方法技巧求轨迹方程的常用方法(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系f(x,y)=0.(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数.(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.(4)相关点法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程.(5)参数法:当动点P(x,y)的坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.举一反三31:(2015东北三校第一次联考)在平面直角坐标系xOy中,已知动圆过点