常微分方程习题答案

习题2.2求下列方程的解1．dxdy=xysin解：y=edx(xsinedxcdx)=ex[-21ex(xxcossin)+c]=cex-21(xxcossin)是原方程的解。2．dtdx+3x=et2解：原方程可化为：dtdx=-3x+et2所以：x=edt3(et2edt3cdt)=et3(51et5+c)=cet3+51et2是原方程的解。3．dtds=-stcos+21t2sin解：s=etdtcos(t2sin21edtdt3c)=etsin(cdttettsincossin)=etsin(cetettsinsinsin)=1sinsintcet是原方程的解。4．dxdynxxeynx，n为常数.解：原方程可化为：dxdynxxeynx)(cdxexeeydxxnnxdxxn)(cexxn是原方程的解.5．dxdy+1212yxx=0解：原方程可化为：dxdy=-1212yxxdxxxey212(cdxedxxx221))21(ln2xe)(1ln2cdxexx=)1(12xcex是原方程的解.6．dxdy234xyxx解：dxdy234xyxx=23yx+xy令xyu则uxydxdy=udxdux因此：dxduxu=2ux21udxdudxduu2cxu331cxxu33（*）将xyu带入（*）中得：3433cxxy是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dxPxdxxPxdxdyyxdxxdyyxdxxPxQxxxeexeQxdxcxP(x)dx232解：方程的通解为：y=e=(x+1)(*(x+1)dx+c)=(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dyyxcdyydxxydxxydyyyQyyyeyQydyc2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c)=(x+1)即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。8.=x+y解：则P(y)=e方程的通解为：x=ee2331*)22ydycyycyy=y(=即x=+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。()()()19.,1),()(())01adxPxdxaxPxdxPxdxaadyayxadxxxaxPxQxxxeexeeQxdxcaa为常数解：（方程的通解为：y=1x+1=x(dx+c)xx当时，方程的通解为y=x+ln/x/+c当时，方程01aaaa的通解为y=cx+xln/x/-1当，时，方程的通解为x1y=cx+-1-3331()()()310.11(),()1(())(*)dxPxdxxPxdxPxdxdyxyxdxdyyxdxxPxQxxxeexeeQxdxcxxdxccxcx33解：方程的通解为：　　y=1=xx=4x方程的通解为：　y=4223333233232332311.2()2()()2,()2(())((2)pxxdxxpxpxxdyxyxydxxyxydxxyxydxxyxdxyzdzxzxdxPxxQxxedxeeedxedxQxdxcex23-2xdy解：两边除以ydydy令方程的通解为：z==e222)11)1,0xxdxcceycey22=x故方程的通解为：(x且也是方程的解。22212111()()222ln112.(ln2)424ln2ln2ln22ln2ln(),()(())ln1(())(PxdxPxdxdxdxxxcxyxydxxdyxdyxyydxxxydyxyydxxxdyxydxxxyzdzxzdxxxxPxQxxxzeeQxdxcxzeedxcxx解：两边除以令方程的通解为：222ln())ln1424ln1:()1,424xdxcxxcxxcxyx方程的通解为且y=0也是解。13222(2)2122xydyyxdxdyyxydxxyxy这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以1y，212dyyydxx令2yz2dzdyydxdx22211dzyzdxxxP(x)=2xQ(x)=-1由一阶线性方程的求解公式22()dxdxxxzeedxc=2xxc22yxxc1423ydyexdxx两边同乘以ye22()3yyydyexeedxx令yezydzdyedxdx222233dzzxzzzdxxxx这是n=2时的伯努利方程。两边同除以2z22131dzzdxxzx令1Tz21dTdzdxzdx231dTTdxxxP（x）=3xQ(x)=21x由一阶线性方程的求解公式3321()dxdxxxTeedxcx=321()2xxc=1312xcx131()12zxcx131()12yexcx2312yyxecex2312yxxec15331dydxxyxy33dxyxyxdy这是n=3时的伯努利方程。两边同除以3x3321dxyyxdyx令2xz32dzdxxdydy3222dzyydyx=322yzyP(y)=-2yQ(y)=32y由一阶线性方程的求解公式223(2)ydyydyzeyedyc=223(2)yyeyedyc=221yyce222(1)1yxyce22222(1)yyyxeycee22222(1)yexxycx16y=xe+0()xytdt()xdyeyxdxxdyyedxP(x)=1Q(x)=xe由一阶线性方程的求解公式11()dxdxxyeeedxc=()xxxeeedxc=()xexc0()()xxxxexceexcdxc=1y=()xexc17设函数(t)于∞t∞上连续，'(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=2(0)故(0)0或(0)1（1）当(0)0时()(0)()(0)ttt即()0t(t∞,∞)(2)当(0)1时'0()()()limtttttt=0()()()limttttt=0()(()1)limtttt=0(0)(0)()limtttt='(0)()t于是'(0)()dtdt变量分离得'(0)ddt积分'(0)tce由于(0)1，即t=0时11=0cec=1故'(0)()tte20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若()yyx是（2.3）的非零解，而()yyx是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()ycyxyx，其中c为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：()()dyPxyQxdx（2.28）()dyPxydx（2.3）（1）设1y，2y是（2.28）的任意两个解则11()()dyPxyQxdx（1）22()()dyPxyQxdx（2）（1）-（2）得1212()()dyyPxyydx即12yyy是满足方程（2.3）所以，命题成立。（2）由题意得：()()dyxPxydx（3）()()()()dyxPxyxQxdx（4）1）先证ycyy是（2.28）的一个解。于是34c得()()()cdydycPxyPxyQxdxdx()()()()dcyyPxcyyQxdx故ycyy是（2.28）的一个解。2）现证方程（4）的任一解都可写成cyy的形式设1y是(2.28)的一个解则11()()dyPxyQxdx（4’）于是（4’）-（4）得11()()()dyyPxyydx从而()1Pxdxyycecy即1yycy所以，命题成立。（3）设3y，4y是（2.3）的任意两个解则33()dyPxydx（5）44()dyPxydx（6）于是（5）c得33()cdycPxydx即33()()()dcyPxcydx其中c为任意常数也就是3ycy满足方程（2.3）（5）（6）得3434()()dydyPxyPxydxdx即3434()()()dyyPxyydx也就是34yyy满足方程（2.3）所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设(,)pxy为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为'()YyyXx从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(,0),(0,')'yxyxyy即横截距为'yxy，纵截距为'yxy。由题意得：（5）2'yxyx方程变形为2dyxyxdx1dyyxdxx于是11()(())dxdxxxyexedxclnln(())xxexedxc1(())xxxdxc1(())xxdxcx()xxc2xcx所以，方程的通解为2yxcx。（6）'2xyyxy方程变形为22dyyxxdx1122dyydxx于是11()221(())2dxdxxxyeedxc11lnln221(())2xxeedxc11221(())2xxdxc11221(())2xxdxc1122()xxc12xcx所以，方程的通解为12yxcx。22．求解下列方程。（1）0')1(2xyyx解：1111'22xyxxyy)11(12122cexeydxxxdxxx=]/1/111[/1/2122212cdxxxx=]/1/[/1/232212cxdxx=cxx/1/2（2）'3sincossin0yxxyx2sinsincoscosdyyxdxxxxP(x)=1sincosxxQ(x)=2sincosxx由一阶线性方程的求解公式112sincossincossin()cosdxdxxxxxxyeedxcx=sin(sin)cosxxdxcx=sin(cos)cosxxcx=sintgxcx