正弦定理和余弦定理__修正-ppt课件

正弦定理和余弦定理一、正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝.asinA＝bsinB＝csinC=2Rb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC[知识能否忆起]——上节课知识回顾定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝，b＝，c＝；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.cosB=b2＋c2－a22bccosB＝；cosC＝.2RsinB2RsinC2RsinAsinA∶sinB∶sinCa2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.“AAS、ASA”“ASS”“SSS”“SAS”二、三角形的面积公式1．S＝12a·ha，(ha表示a边上的高)．2．S＝12bcsinA＝＝.3．S＝12(a＋b＋c)·r(r为三角形内切圆半径)．4()()()2abcSppapbpcp、其中12acsinB12absinC在三角形中：①大角对大边，大边对大角；②大角的正弦值较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.[目标早知道]——本节课教学目标题组训练得方法：题型一：利用正弦、余弦定理解三角形题型二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状题型三：与三角形面积有关的问题利用正弦、余弦定理解三角形【考向探寻】1．利用正弦定理解斜三角形．2．利用余弦定理解斜三角形．【典例剖析】(1)(2013·抚顺模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为A.π6B．π3C.π2D．3π2由向量共线得到三边关系，再用余弦定理求解．(1)解析：由p∥q得a＋cb＝b－ac－a，∴a2＋b2－c2＝ab.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12.又0Cπ，∴C＝π3.答案：B(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于A．1B．2C.3－1D．3法一：利用余弦定理求解．法二：利用正弦定理求解．(2)解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sinπ3＝1sinB，∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由ab，得∠A∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.答案：B(3)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a＝4，C＝2A，cosA＝34.①求sinB；②求b的值．①先求sinA，sinC，cosC，利用sinB＝sin(A＋C)求解；②利用正弦定理求解.(3)解：①∵A为△ABC内角，且cosA＝34，∴sinA＝74，又∵C＝2A.∴sinC＝sin2A＝2sinA·cosA＝378，cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝18.∴sinB＝sin(A＋C)＝sinA·cosC＋sinC·cosA＝74×18＋378×34＝5716.②由正弦定理得bsinB＝asinA，∴b＝a·sinBsinA＝4×571674＝5.(1)已知两边和一边的对角解三角形时，可能出现两解、一解、无解三种情况，解题时应根据已知条件具体判断解的情况，常用方法是根据图形或由“大边对大角”作出判断或用余弦定理列方程求解．(2)三角形中常见的结论①A＋B＋C＝π.②三角形中大边对大角，反之亦然．③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．④三角形内的诱导公式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.⑤在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.【活学活用】1．(1)若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A.154B．34C.31516D．1116(2)(2012·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.D145利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【考向探寻】利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状．【典例剖析】(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三内角A，B，C成等差数列，三边长a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为A．等边三角形B．非等边的等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形(1)解析：因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C＝π－B，所以B＝π3，又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac＝12，所以(a－c)2＝0，所以a＝c，又B＝π3，故△ABC为等边三角形．答案：A(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.①求A的大小；②若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．(2)①正弦定理、条件→cosA＝－12→A的大小；②①中a2＝b2＋c2＋bc→sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC――→条件sinB、sinC的值→判断△ABC的形状(2)解：①由已知和正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，A＝120°.②由①知，a2＝b2＋c2＋bc，∴sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，即34＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，∴sinC＝1－sinB，代入上式，(2sinB－1)2＝0，∴sinB＝12，∴sinB＝sinC＝12.又0°B，C90°，∴B＝C，所以△ABC是等腰的钝角三角形．判断三角形形状的方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意A＋B＋C＝π这个结论的运用．【活学活用】2．(1)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形AC与三角形面积有关的问题【考向探寻】1．根据已知条件求三角形的面积．2．已知三角形的面积，解三角形．【典例剖析】(1)(2013·厦门模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，且AC→·AB→＝4，则△ABC的面积等于________．由条件得cosA＝12，A＝π3；又由AC→·AB→＝4得bc，故△ABC面积可求．(1)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又0Aπ，∴A＝π3.又AC→·AB→＝bccosA＝12bc＝4，∴bc＝8.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×8×32＝23.答案：23(2)(2012·江西高考)(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.①求证：B－C＝π2；②若a＝2，求△ABC的面积．①由已知条件可得sin(B－C)＝1，故可得B－C＝π2；②由已知及①求得B，C，根据正弦定理求得b，c，然后求面积．(2)①证明：由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a及正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，………………2分∴sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22.整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，∴sin(B－C)＝1，……………………………………4分∵0B，C34π，∴B－C＝π2.………………………………………………5分②解：由①知B－C＝π2，又B＋C＝π－A＝3π4，∴B＝5π8，C＝π8.…………………………………………7分由正弦定理得bsinB＝csinC＝asinA＝2sinπ4＝2，∴b＝2sin5π8，c＝2sinπ8.………………………………10分∴S△ABC＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝22sinπ4＝12.…………………………12分(1)三角形的面积经常与正、余弦定理结合在一起考查，解题时要注意方程思想的运用，即通过正、余弦定理建立起方程(组)，进而求得边或角．(2)要熟记常用的面积公式及其变形．【活学活用】3．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.若△ABC的面积等于3，求a，b.解：由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，即12absinC＝3，∴ab＝4.由a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.所以a＝2，b＝2.【备选例练】1.1=ABCABCabcbcc例、在中，三个内角、、及其对边为、、满足sin(A-B)sin(A+B)（）求角A的大小；（2）若a6，求ABC的面积的最大值。【备选例练】222sinsin=1ABCACab例、已知中，2（2）（）sinB,三角形的外接圆半径为2，（）求角C的大小；（2）求ABC的面积的最大值。作业：1、(2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.2、(2012·安徽名校模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝cos2A2，cos2A，且m·n＝72.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状．(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．3、(2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.谢谢！