正弦定理和余弦定理导学案

1正弦定理和余弦定理适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长60分钟知识点使用正弦定理要注意的问题解的个数问题已知两边和其中一边的对角问题已知两角一边问题三角形的面积公式使用余弦定理要注意的问题已知两边与夹角问题已知三边问题正、余弦定理的综合运用学习目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.学习重点1、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用；2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法学习难点正、余弦定理的灵活应用2学习过程复习预习回忆在三角函数中学过的公式A.三角函数诱导公式：B.三角函数的两角和或差公式：C.三角函数的二倍角公式：D.三角函数的辅助角公式：3知识讲解考点1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA;b2＝a2＋c2－2accos_B;c2＝a2＋b2－2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bccosB＝a2＋c2－b22accosC＝a2＋b2－c22ab解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角4考点2在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数一解两解一解一解无解5例题精析【例题1】【题干】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．6【解析】(1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2得c＝2a.由余弦定理及cosB＝14得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，从而a＝1.因此b＝2.7【例题2】【题干】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．8【解析】∵2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3.∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.又∵0°＜B＜120°，30°＜B＋30°＜150°，∴B＋30°＝90°，即B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形．9【例题3】【题干】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.10【解析】(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.11【例题4】【题干】(2012·江西高考)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．12【解析】(1)证明：由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，⇨(3分)整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，⇨(5分)由于0B，C34π，从而B－C＝π2.⇨(6分)(2)B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.⇨(8分)由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，⇨(10分)所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.⇨(12分)13课堂运用【基础】1．(2012·上海高考)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定142．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋394153．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.725B．－725C．±725D.242516【巩固】4．(2012·福建高考)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．175．在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD的长度为________．18【拔高】6．已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．197．(2012·江苏高考)在△ABC中，已知AB·AC＝3BA·BC.(1)求证：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝55，求A的值．20课程小结(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解