正弦定理和余弦定理应用举例(新)

正弦定理和余弦定理应用举例一、选择题1．在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是()A．b＝20，A＝45°，C＝80°B．a＝30，c＝28，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝12，c＝15，A＝120°2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里3．2009年8月4日发生的2009年第8号台风“莫拉克”造成台湾省461人死亡，192人失踪，其台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A.2063米B．106米C.1063米D．202米4．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A.3B．53C．63D．735．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定6．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米B．5米C．10米D．12米二、填空题7．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．8．在△ABC中，已知sinAsinBcosC＝sinAsinCcosB＋sinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则abc2的最大值为________．9．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．三、解答题10．(2009·辽宁高考)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)．11．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．12．(2008·湖南高考)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°θ90°)且与点A相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．正弦定理和余弦定理应用举例1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()A.1762海里/时B．346海里/时C.1722海里/时D．342海里/时2．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.3．如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．题组二高度问题4.据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A.2063米B．106米C.1063米D．202米5．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进103m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．6．某人在山顶观察地面上相距2500m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1m)．题组三角度问题7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么角C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定题组四正、余弦定理的综合应用9.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为()A．300mB．400mC．200mD．2003m10．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．11．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．12．(2010·宁波模拟)某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？正弦定理和余弦定理作业一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·湖北)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－223B.223C．－63D.632．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°3．(2010·江西)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝()A.1627B.23C.33D.344．(2011·青岛模拟)△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B∈0，π2，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为()A．1＋3B．3＋3C.3＋33D．2＋36．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则()A．b＋c＝2aB．b＋c2aC．b＋c≤2aD．b＋c≥2a二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010·江苏)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB的值是________．8．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．9．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°.若AC＝2AB，则BD＝________.10．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝12DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．(2010·全国Ⅰ)已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝a1tanA＋b1tanB，求内角C.12．(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．13．(2010·陕西)如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．正弦定理和余弦定理应用举例一、选择题1．在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是()A．b＝20，A＝45°，C＝80°B．a＝30，c＝28，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝12，c＝15，A＝120°解析：由a＝14，b＝16，A＝45°及正弦定理，得sinB16＝sinA14，所以sinB＝427，因而B有两值．答案：C2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．答案：C3．2009年8月4日发生的2009年第8号台风“莫拉克”造成台湾省461人死亡，192人失踪，其台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A.2063米B．106米C.1063米D．202米解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，AOsin45°＝20sin60°，∴AO＝2063(米)．答案：A4．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A.3B．53C．63D．73解析：连接BD，在△BCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，BD＝23，S△BCD＝12×2×2×sin120°＝3.在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，AB＝4，BD＝23，∴S△ABD＝12AB·BD＝12×4×23＝43，∴四边形ABCD的面积是53.答案：B5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋bc.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A6．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米B．5米C．10米D．12米解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则O