正弦定理和余弦定理总结

三角函数锐角三角函数公式sin的对边正弦：的斜边cos的邻边余弦：的斜边tan的对边　　正切：　的邻边　cot的邻边　余切：的对边简单的三角函数•定义1cscsin1cottan1seccos　商的关系sinsectancoscsccoscsccotsecsintancot1　sincsc1　cossec1倒数关系•sin2α+cos2α=1•1+tan2α=sec2α•1+cot2α=csc2α最重要的公式sin2α+cos2α=1平方关系平常针对不同条件的常用的两个公式tancot1　1.设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等sin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα2.设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα3.任意角α与-α的三角函数值之间的关系•sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosα•tan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα4.利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα5.利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系•sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosα•tan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα6.π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinαtan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinαtan（3π/2-α）=cotαcot（3π/2-α）=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限以上k∈Z两角和公式•sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ•sin(α-β)=sinαcosβ–cosαsinβ•cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ•cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ两角和公式tantantan1tantantantantan1+tantan二倍角公式正弦:余弦:2222cos2aosin2cos112sincasaaasin22sincosaaa正切:2tantan221tan三倍角公式cos(3a)cos2aa　cos2acosasin2asina222cosa1cosa21cosacosa　34cosa3cosasin(3a)sina2a　　sin2acosacos2asina22=2sina1sina12sinasina33sina4sina和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB积化和差•sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2•cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2•sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2•cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2非重点三角函数1112222cossincossin2222seccscseccsc对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成立万能公式222tansin21tan2221-tancos21tan22tan21-tan2tan半角公式cotA/2sinA/1cosA1cosA/sinA.　tanA/21cosA/sinAsinA/1cosA21cos2sin2221cos2cos22（十分重要，需灵活应用）正弦定理•正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。•即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R是此三角形外接圆的半径的两倍）•方法一•证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c•作CH⊥AB垂足为点H•CH=a·sinBCH=b·sinA••∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB••同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC正弦定理•方法2.•证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R••任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.••作直径BD交⊙O于D.连接DA.•因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=900•因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.•所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R余弦定理余弦定理•如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：•将等式同乘以c得到：•运用同样的方式可以得到：coscoscab2coscoscacbc2coscosaacab2coscosbbcab余弦定理•两式相加•整理得：22coscoscoscosabacbcabab22cos22ababc2222cosababc