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第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式考纲展示考纲解读1.能利用单位圆中的三角函数线推导出𝜋2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性.2.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,𝑠𝑖𝑛x𝑐𝑜𝑠x=tanx.同角三角函数的基本关系、诱导公式在高考中主要考查运用同角三角函数基本关系式、诱导公式化简、求值与证明简单的三角恒等式,主要考查基本知识与基本技能及化归思想,从题型上看,主要出现在选择题和填空题中,难度一般不大.1.同角三角函数基本关系式平方关系sin2α+cos2α=1商数关系𝑠𝑖𝑛α𝑐𝑜𝑠α=tanα同角三角函数几种关系的运用中应重点掌握:①平方关系中关于1的代换;②商数关系中切与弦的互化;③“三姐妹”的运用,即sinα±cosα,sin2α的代换.在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=sinαcos𝛼把正切化成正弦、余弦.(2)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tanπ4=….2.下面各角的终边与角α的终边的关系角2kπ+α(k∈Z)π+α-α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π-α𝜋2-α𝜋2+α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y=x对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限诱导公式的记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.(1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.1.(2012·北京海淀模拟)sin600°的值为()A.32B.-32C.-12D.12【答案】B【解析】sin600°=sin(360°+180°+60°)=-sin60°=-32.2.若sin(π+α)=-12,则cosα的值为()A.±12B.12C.33D.±32【答案】D【解析】∵sin(π+α)=-sinα=-12,∴sinα=12.∴cosα=±1-14=±32.3.已知α是第四象限角,cosα=1213,则sinα等于()A.513B.-513C.512D.-512【答案】B【解析】∵α是第四象限角,∴sinα0.∴sinα=-1-cos2α=-513.4.已知sin(θ+π)0,cos(θ-π)0,则下列不等关系中必定成立的是()A.sinθ0,cosθ0B.sinθ0,cosθ0C.sinθ0,cosθ0D.sinθ0,cosθ0【答案】B【解析】∵sin(θ+π)0,即-sinθ0,∴sinθ0.∵cos(θ-π)0,即-cosθ0,∴cosθ0.5.已知sinα,cosα是方程5x2-7x+m=0的两根,则m=.【答案】125【解析】∵sinα,cosα是方程5x2-7x+m=0的两根,∴sinα+cosα=75,sinα·cosα=𝑚5,把等式sinα+cosα=75两边平方,得1+2sinαcosα=4925,即1+25m=4925,∴m=125.T题型一同角三角函数关系基本关系式例1已知tanα=2,求下列各式的值:(1)2sin𝛼-3cos𝛼4sin𝛼-9cos𝛼;(2)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α.由已知tanα=2,将所求式中的弦化为切,注意sin2α+cos2α=1的使用.【解】(1)原式=2tan𝛼-34tan𝛼-9=2×2-34×2-9=-1.(2)∵sin2α+cos2α=1,∴4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=4sin2α-3sin𝛼cos𝛼-5cos2αsin2α+cos2α=4tan2α-3tan𝛼-5tan2α+1=4×4-3×2-54+1=1.这是一组在已知tanα=m的条件下,求关于sinα,cosα的齐次式之值的问题,解这类问题需注意:(1)齐次指的是关于sinα,cosα的齐次式或能化为齐次式的三角函数式;(2)由cosα≠0,可用cosα除,这样可以将被求式化为关于tanα的表达式,代入tanα=m即可.1.已知sin𝛼+3cos𝛼3cos𝛼-sin𝛼=5,则sin2α-sinαcosα=.【答案】25【解析】显然cosα≠0,依题意得tan𝛼+33-tan𝛼=5,即tanα=2.故sin2α-sinαcosα=sin2α-sin𝛼cos𝛼sin2α+cos2α=tan2α-tan𝛼tan2α+1=22-222+1=25.T题型二sinα±cosα关系的运用例2已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),求值:(1)tanθ;(2)sinθ-cosθ;(3)sin3θ+cos3θ.由已知及sin2θ+cos2θ=1,求出sinθ·cosθ的值.【解】方法一:∵sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),平方整理得sinθcosθ=-12250.∴sinθ0,cosθ0,由根与系数的关系知,sinθ,cosθ是方程x2-15x-1225=0的两根,解方程得x1=45,x2=-35.即sinθ=45,cosθ=-35.故(1)tanθ=sin𝜃cos𝜃=45-35=-43.(2)sinθ-cosθ=45+35=75.(3)sin3θ+cos3θ=453+-353=37125.方法二:(1)同方法一.(2)(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-2×-1225=4925.∵sinθ0,cosθ0,∴sinθ-cosθ0.∴sinθ-cosθ=75.(3)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=15×1+1225=37125.对于已知sinα±cosα=m①型的问题,常有两种解法:一是对①两边平方得±2sinαcosα=m2-1②,联立①②解出sinα,cosα的值,从而使问题得以解决;二是对所求式子进行恒等变形,化为sinα±cosα,sinα·cosα的形式代入求解,解题时注意正、负号的讨论与确定.2.已知0απ2,若cosα-sinα=-55,试求:2sin𝛼cos𝛼-cos𝛼+11-tan𝛼的值.【解】∵cosα-sinα=-55,∴两边平方可知1-2sinα·cosα=15.∴2sinα·cosα=45.∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+45=95.∵0απ2,∴sinα+cosα=355,与cosα-sinα=-55联立,解得cosα=55,sinα=255.∴2sin𝛼cos𝛼-cos𝛼+11-tan𝛼=cos𝛼(2sin𝛼cos𝛼-cos𝛼+1)cos𝛼-sin𝛼=5545-55+1-55=55−95.T题型三利用诱导公式化简三角函数式例3化简:(1)cos(π+𝜃)cos𝜃[cos(π-𝜃)-1]+cos(𝜃-2π)sin𝜃-3π2cos(𝜃-π)-sin3π2+θ;(2)sin(𝑘π+𝛼)cos[(𝑘-1)π-𝛼]sin[(𝑘+1)π-𝛼]cos(𝑘π-𝛼),k∈Z.【解】(1)原式=-cos𝜃cos𝜃(-cos𝜃-1)+cos𝜃cos𝜃(-cos𝜃)+cos𝜃=11+cos𝜃+11-cos𝜃=2sin2θ.(2)当k为偶数时,记k=2n(n∈Z).原式=sin(2𝑛π+𝛼)cos[(2𝑛-1)π-𝛼]sin[(2𝑛+1)π-𝛼]cos(2𝑛π-𝛼)=sin𝛼cos(π+𝛼)sin(π-𝛼)cos𝛼=sin𝛼(-cos𝛼)sin𝛼cos𝛼=-1;当k为奇数时,记k=2n+1(n∈Z).原式=sin(2𝑛π+π+𝛼)cos(2𝑛π-𝛼)sin(2𝑛π+2π-𝛼)cos(2𝑛π+π-𝛼)=sin(π+𝛼)cos𝛼sin(-𝛼)cos(π-𝛼)=-sin𝛼cos𝛼sin𝛼cos𝛼=-1.综上,原式=-1.利用诱导公式化简求值时的原则为:(1)“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.(2)“大化小”,利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的角的三角函数,利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的角的三角函数.(3)“小化锐”,利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数.(4)“锐求值”,得到0°到90°的角的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得.3.已知角α终边上一点P(-4,3),则cosπ2+αsin(-π-𝛼)cos13π2-αsin9π2+α的值为.【答案】34【解析】原式=(-sin𝛼)sin𝛼sin𝛼cos𝛼=-tanα,根据三角函数的定义,得tanα=𝑦𝑥=-34.故原式=34.T题型四三角恒等式的证明例4求证:cos𝛼1-sin𝛼=1+sin𝛼cos𝛼.【证明】方法一:左边=cos2α(1-sin𝛼)cos𝛼=1-sin2α(1-sin𝛼)cos𝛼=(1+sin𝛼)(1-sin𝛼)(1-sin𝛼)cos𝛼=1+sin𝛼cos𝛼=右边,故原式得证.方法二:∵cos𝛼1-sin𝛼−1+sin𝛼cos𝛼=cos2α-(1+sin𝛼)(1-sin𝛼)cos𝛼(1-sin𝛼)=cos2α-(1-sin2α)cos𝛼(1-sin𝛼)=cos2α-cos2αcos𝛼(1-sin𝛼)=0,∴cos𝛼1-sin𝛼=1+sin𝛼cos𝛼.方法三:∵(1-sinα)(1+sinα)=1-sin2α=cos2α,∴cos𝛼1-sin𝛼=1+sin𝛼cos𝛼.方法四:若证cos𝛼1-sin𝛼=1+sin𝛼cos𝛼成立,只需证cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα),即证cos2α=1-sin2α成立,而cos2α=1-sin2α显然成立,故原等式得证.(1)三角恒等式,除特殊注明外,都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式.(2)关于三角恒等式的证明,常用如下方法:①从一边开始证得它等于另一边,一般由繁到简;②左、右归一法,即证明左、右两边都等于同一个式子;③凑合方法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异的方法,简而言之,即化异为同的方法;④比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“左边右边=1”;⑤分析法,即从被证的等式出发,逐步地探求使等式成立的充分条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.4.求证:sin(𝑘π-𝛼)cos(𝑘π+𝛼)sin[(𝑘+1)π+𝛼]cos[(𝑘+1)π+𝛼]=-1,k∈Z.【证明】若k是偶数,即k=2n(n∈Z),则左边=sin(2𝑛π-𝛼)cos(2𝑛π+𝛼)sin[2𝑛π+(π+𝛼)]cos[2𝑛π+(π+𝛼)]=-sin𝛼cos𝛼-sin𝛼(-cos𝛼)=-1;若k是奇数,即k=2n+1(n∈Z),则左边=sin[2𝑛π+(π-𝛼)]cos[2𝑛π+(π+𝛼)]sin[2(