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第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲展示考纲解读1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的考点.2.公式逆用、变形应用是高考热点.3.题型以选择题、解答题为主.1.两角和与差的正弦、余弦、正切(1)两角和与差的余弦cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(2)两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(3)两角和与差的正切tan(α+β)=𝑡𝑎𝑛α+𝑡𝑎𝑛β1-𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛β;tan(α-β)=𝑡𝑎𝑛α-𝑡𝑎𝑛β1+𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛β.α,β,α+β,α-β均不等于k𝜋+π2,k∈𝑍.2.辅助角公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ),其中𝑐𝑜𝑠φ=𝑎𝑎2+𝑏2,𝑠𝑖𝑛φ=𝑏𝑎2+𝑏2,𝑡𝑎𝑛φ=𝑏𝑎,φ的终边所在的象限由a,b的符号来确定,角φ称为辅助角.求值常用的方法:化切为弦法,升幂、降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的代换法等.求值题常见类型(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.为了灵活应用和、差角公式,可以对角进行适当的拆分变换:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2·α+β2,α+β2=α-β2−α2-β等.1.sin34°sin26°-cos34°cos26°的值是()A.12B.32C.-12D.-32【答案】C【解析】原式=-cos(34°+26°)=-cos60°=-12.2.计算cos42°cos18°-cos48°cos72°的结果等于()A.12B.33C.22D.32【答案】A【解析】∵cos48°=sin42°,cos72°=sin18°,∴原式=cos42°cos18°-sin42°sin18°=cos60°=12,故选A.3.1-𝑡𝑎𝑛275°𝑡𝑎𝑛75°的值等于()A.3B.23C.-3D.-23【答案】D【解析】∵tan150°=tan(75°+75°)=2𝑡𝑎𝑛75°1-𝑡𝑎𝑛275°,∴1-𝑡𝑎𝑛275°𝑡𝑎𝑛75°=2𝑡𝑎𝑛150°=-23.4.若tanα+𝜋4=25,则tanα=.【答案】-37【解析】tanα+𝜋4=𝑡𝑎𝑛α+11-𝑡𝑎𝑛α=25,即5tanα+5=2-2tanα,解得tanα=-37.T题型一两角和与差公式的应用例1已知函数f(x)=2sin13x-𝜋6,x∈R.(1)求f5𝜋4的值;(2)设α,β∈0,𝜋2,f3α+𝜋2=1013,f(3β+2π)=65,求cos(α+β)的值.【解】(1)∵f(x)=2sin13x-𝜋6,∴f5𝜋4=2sin5𝜋12-𝜋6=2sin𝜋4=2.(2)∵α,β∈0,𝜋2,f3α+𝜋2=1013,f(3β+2π)=65,∴2sinα=1013,2sinβ+𝜋2=65,即sinα=513,cosβ=35,∴cosα=1213,sinβ=45.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=1213×35−513×45=1665.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.1.(2012·辽宁大连模拟)在△ABC中,∠C=120°,tanA+tanB=233,则tanAtanB的值为.【答案】13【解析】由题意,得tan(A+B)=-tanC=-tan120°=3.又tan(A+B)=𝑡𝑎𝑛A+𝑡𝑎𝑛B1-𝑡𝑎𝑛A𝑡𝑎𝑛B,且tan(A+B)=2331-𝑡𝑎𝑛A𝑡𝑎𝑛B=3,解得tanAtanB=13.T题型二辅助角公式的运用例2化简:24sin𝜋4-x+64cos𝜋4-x.形如asinα+bcosα化成Asin(α+β)的形式.【解】24sin𝜋4-x+64cos𝜋4-x=2212𝑠𝑖𝑛𝜋4-x+32𝑐𝑜𝑠𝜋4-x=22𝑐𝑜𝑠𝜋3𝑠𝑖𝑛𝜋4-x+𝑠𝑖𝑛𝜋3𝑐𝑜𝑠𝜋4-x=22sin𝜋4-x+𝜋3=22sin7𝜋12-x.通过本题,我们可以总结出辅助角公式,即asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)其中φ角的终边所在的象限由a,b的符号确定,φ角满足cosφ=aa2+b2,sinφ=ba2+b2,这是经常用到的一个公式,它可把含sinx,cosx的一次式的三角函数式化为Asin(x+φ)的形式,从而进一步探索三角函数的性质.2.函数y=2sinx-cosx的最大值为.【答案】5【解析】y=2sinx-cosx=525𝑠𝑖𝑛x-15𝑐𝑜𝑠x=5sin(x-φ)其中𝑐𝑜𝑠φ=25,𝑠𝑖𝑛φ=15.T题型三三角函数的给值求值问题例3已知0β𝜋2απ,且cosα-β2=-19,sinα2-β=23,求cos(α+β)的值.拆分角:α+β2=α-β2−α2-β,利用平方关系分别求各角的正弦、余弦.【解】∵0β𝜋2απ,∴-𝜋4α2-β𝜋2,𝜋4α-β2π.∴cosα2-β=1-𝑠𝑖𝑛2α2-β=53,sinα-β2=1-𝑐𝑜𝑠2α-β2=459,∴cosα+β2=cosα-β2-α2-β=cosα-β2cosα2-β+sinα-β2sinα2-β=-19×53+459×23=7527,故cos(α+β)=2cos2α+β2-1=2×49×5729-1=-239729.三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知角表示:(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍数关系”或“互余互补”关系.3.已知α,β∈0,𝜋2,sinα=45,tan(α-β)=-13,求cosβ的值.【解】∵α,β∈0,𝜋2,∴-𝜋2α-β𝜋2.又∵tan(α-β)=-130,∴-𝜋2α-β0.∴1𝑐𝑜𝑠2(α-β)=1+tan2(α-β)=109,cos(α-β)=31010,sin(α-β)=-1010.又∵sinα=45,∴cosα=35.∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=35×31010+45×-1010=1010.T题型四三角函数的给值求角问题例4已知cosα=17,cos(α-β)=1314,且0βα𝜋2,求β.由cosβ=cos[α-(α-β)]解决.【解】∵0βα𝜋2,∴0α-β𝜋2.又∵cos(α-β)=1314,cosα=17,0α𝜋2,∴sinα=1-𝑐𝑜𝑠2α=437.∴sin(α-β)=1-𝑐𝑜𝑠2(α-β)=3314.∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12.∵0β𝜋2,∴β=𝜋3.通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,应遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是0,𝜋2,选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-𝜋2,𝜋2,选正弦较好.4.已知α,β∈-𝜋2,𝜋2,且tanα,tanβ是方程x2+33x+4=0的两个根,求α+β的值.【解】由根与系数的关系,得tanα+tanβ=-33,tanαtanβ=4,从而tanα0,tanβ0,-πα+β0.又∵tan(α+β)=𝑡𝑎𝑛α+𝑡𝑎𝑛β1-𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛β=-331-4=3,∴α+β=-2𝜋3.规范解题角的变换技巧试题(12分)已知cosx-𝜋4=210,x∈𝜋2,3𝜋4.(1)求sinx的值;(2)求sin2x+𝜋3的值.【规范解答】(1)因为x∈𝜋2,3𝜋4,所以x-𝜋4∈𝜋4,𝜋2,于是sinx-𝜋4=1-𝑐𝑜𝑠2x-𝜋4=7210.2分sinx=sinx-𝜋4+𝜋4=sinx-𝜋4cos𝜋4+cosx-𝜋4sin𝜋4=7210×22+210×22=45.6分(2)因为x∈𝜋2,3𝜋4,故cosx=-1-𝑠𝑖𝑛2x=-1-452=-35.sin2x=2sinxcosx=-2425,cos2x=2cos2x-1=-725.8分所以sin2x+𝜋3=sin2xcos𝜋3+cos2xsin𝜋3=-24+7350.12分1.当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.3.常见的配角技巧α=2·α2;α=(α+β)-β;α=β-(β-α);α=12[(α+β)+(α-β)];β=12[(α+β)-(α-β)];𝜋4+α=𝜋2−𝜋4-α.注意:特殊的角也看成已知角,如α=𝜋4−𝜋4-α.1.函数y=sin2x+𝜋6+cos2x+𝜋3的最小正周期和最大值分别为()A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,2【答案】A【解析】∵y=sin2x·32+cos2x·12+cos2x·12-sin2x·32=cos2x,∴T=π,ymax=1.2.化简:tanx+𝜋4-tan𝜋4-x的结果为()A.tan2xB.2tan2xC.tanxD.2tanx【答案】B【解析】tanx+𝜋4-tan𝜋4-x=𝑡𝑎𝑛x+11-𝑡𝑎𝑛x−1-𝑡𝑎𝑛x1+𝑡𝑎𝑛x=4𝑡𝑎𝑛x1-𝑡𝑎𝑛2x=2tan2x.3.已知sinα+sinβ=12,cosα+cosβ=13,则cos(α-β)等于()A.-712B.-1718C.-5972D.-10972【答案】C【解析】把sinα+sinβ=12两边平方,得sin2α+2sinαsinβ+sin2β=14,①把cosα+cosβ=13两边平方,得cos2α+2cosαcosβ+cos2β=19,②由①+②,得2+2cos(α-β)=1336,故cos(α-β)=-5972.4.若tan(α+β)=25,tanβ-𝜋4=14,则tanα+𝜋4=.【答案】322【解析】tanα+𝜋4=tan(α+β)-β-𝜋4=𝑡𝑎𝑛(α+β)-𝑡𝑎𝑛β-𝜋41+𝑡𝑎𝑛(α+β)𝑡𝑎𝑛β-𝜋4=25-141+25×14=322.5.当-𝜋2≤x≤𝜋2时,函数f(x)=sinx+3cosx的值域为.【答案】[-1,2]【解析】f(x)=sinx+3cosx=2sinx+𝜋3,∵-𝜋2≤x≤𝜋2,∴-𝜋6≤x+𝜋3≤5𝜋6.则-12≤sinx+�