苏教版高中数学《三角恒等变换》教学设计及习题

第三章三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.第一课时两角和与差的余弦教学目标：掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：余弦的差角公式及简单应用教学难点：余弦的差角公式的推导教学过程：Ⅰ.课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?Ⅱ.讲授新课接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos（α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.设向量a＝OP1→＝（cosα，sinα），b＝OP2→＝（cosβ，sinβ），则：a·b＝︱a︱︱b︱cos（α－β）＝cos（α－β）另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ所以：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?cos［α－（－β）］＝cosαcos（－β）－sinαsin（－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ即：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.请同学们仔细观察它们各自的特点.(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.如：求cos15°可化为求cos（45°－30°)或cos（60°－45°）利用这一式子而求得其值.即：cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22·32＋22·12＝6＋24或：cos15°＝cos（60°－45°）＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝12·22＋32·22＝6＋24请同学们将此公式中的α用π2代替，看可得到什么新的结果?cos（π2－α）＝cosπ2cosα＋sinπ2sinα＝sinα即：cos（π2－α）＝sinα再将此式中的α用π2－α代替，看可得到什么新的结果.cos［π2－（π2－α）］＝cosα＝sin（π2－α）即：sin（π2－α）＝cosαⅢ.课堂练习1.求下列三角函数值①cos（45°＋30°）②cos105°解：①cos（45°＋30°）＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝22·32－22·12＝6－22②cos105°＝cos（60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12·22－32·22＝2－622.若cosαcosβ＝－34，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ.解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β）将cosαcosβ＝－34，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝143.求cos23°cos22°－sin23°sin22°的值.解：cos23°cos22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos45°＝224.若点P(－3，4)在角α终边上，点Q（－1，－2）在角β的终边上，求cos（α＋β）的值.解：由点P（－3，4）为角α终边上一点；点Q（－1，－2)为角β终边上一点，得：cosα＝－35，sinα＝45；cosβ＝－255，sinβ＝－55.∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝（－35）×（－255）－45×（－55）＝2555.已知cos（α－β）＝1213，cos（α＋β）＝－113，求：tanα·tanβ的值.解：由已知cos（α－β）＝1213，cos（α＋β）＝－113可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝1213－113＝1113即：2cosαcosβ＝1113①cos（α－β）－cos（α＋β）＝1即：2sinαsinβ＝1②由②÷①得2sinαsinβ2cosαcosβ＝tanα·tanβ＝1311∴tanα·tanβ的值为1311.6.已知cosα－cosβ＝12，sinα－sinβ＝－13，求：cos（α－β）的值.解：由已知cosα－cosβ＝12得：cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝14①由sinα－sinβ＝－13得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝19②由①＋②得：2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝1336即：2－2cos（α－β）＝1336∴cos（α－β）＝5972Ⅳ.课时小结两公式的推导及应用.Ⅴ.课后作业课本P96习题1，2，3两角和与差的余弦1．下列命题中的假命题．．．是（）A.存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβB.不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβC.对于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβD.不存在这样的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ2．在△ABC中，已知cosA·cosB＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？3．已知sinα＋sinβ＝22，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.4．已知：α∈（π4，3π4），β∈（0，π4），且cos（π4－α）＝35，sin（5π4＋β）＝－1213求：cos（α＋β）.5．已知：α、β为锐角，且cosα＝45，cos（α＋β）＝－1665，求cosβ的值.6．在△ABC中，已知sinA＝35，cosB＝513，求cosC的值.两角和与差的余弦答案1．B2．在△ABC中，已知cosA·cosB＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π即：A＋B＝π－C由已知得cosA·cosB－sinA·sinB＞0，即：cos（A＋B）＞0∴cos（π－C）＝－cosC＞0，即cosC＜0∴C一定为钝角∴△ABC一定为钝角三角形.3．已知sinα＋sinβ＝22，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函数思想.解：令cosα＋cosβ＝x，则得方程组：cosα＋cosβ＝x①sinα＋sinβ＝22②①2＋②2得2＋2cos(α－β)＝x2＋12∴cos(α－β)＝2x2－34∵|cos(α－β)|≤1，∴|2x2－34|≤1解之得：－142≤x≤142∴cosα＋cosβ的最大值是142，最小值是－142.4．已知：α∈（π4，3π4），β∈（0，π4），且cos（π4－α）＝35，sin（5π4＋β）＝－1213求：cos（α＋β）.解：由已知：α∈（π4，3π4）－α∈（－3π4，－π4）π4－α∈（－π2，0）又∵cos（π4－α）＝35，∴sin（π4－α）＝－45由β∈（0，π4）π4＋β∈（π4，π2）又∵sin（5π4＋β）＝sin［π＋（π4＋β）］＝－sin（π4＋β）＝－1213即sin（π4＋β）＝1213，∴cos（π4＋β）＝513又（π4＋β）－（π4－α）＝α＋β∴cos（α＋β）＝cos［（π4＋β）－（π4－α）］＝cos（π4＋β）cos（π4－α）＋sin（π4＋β）sin（π4－α）＝513×35＋1213×（－45）＝－33655．已知：α、β为锐角，且cosα＝45，cos（α＋β）＝－1665，求cosβ的值.解：∵0＜α·β＜π2，∴0＜α＋β＜π由cos（α＋β）＝－1665，得sin（α＋β）＝6365又∵cosα＝45，∴sinα＝35∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝（－1665）×45＋6365×35＝513评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.6．在△ABC中，已知sinA＝35，cosB＝513，求cosC的值.分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.解：由sinA＝35＜22知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，又cosB＝513＜12，∴60°＜B＜90°，∴sinB＝1213若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能.∴0°＜A＜45°，即cosA＝45.∴cosC＝－cos（A＋B）＝1665.第二课时两角和与差的正弦教学目标：掌握S（α＋β）与S（α－β）的推导过程及公式特征，利用上述公式进行简单的求值与证明；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.教学重点：两角和与差的正弦公式及推导过程.教学难点：灵活应用所学公式进行求值证明.教学过程：Ⅰ.课题导入首先，同学们回顾一下