高中数学：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式[知识能否忆起]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.3．常用的公式变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.[小题能否全取]1．(2011·福建高考)若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6解析：选Dsin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6.2．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为()A．－22B.22C.32D．1解析：选B原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22.3．已知sinα＝23，则cos(π－2α)等于()A．－53B．－19C.19D.53解析：选Bcos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×49－1＝－19.4．(教材习题改编)若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinα＋π4＝________解析：由已知条件sinα＝－1－cos2α＝－35，sinα＋π4＝22sinα＋22cosα＝－7210.答案：－72105．若tanα＋π4＝25，则tanα＝________.解析：tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝25，即5tanα＋5＝2－2tanα.则7tanα＝－3，故tanα＝－37.答案：－371.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．三角函数公式的应用典题导入[例1](2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f5π4的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．[自主解答](1)∵f(x)＝2sin13x－π6，∴f5π4＝2sin5π12－π6＝2sinπ4＝2.(2)∵α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，∴2sinα＝1013，2sinβ＋π2＝65.即sinα＝513，cosβ＝35.∴cosα＝1213，sinβ＝45.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1213×35－513×45＝1665.由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sinα＝35，α∈π2，π，则cos2α2sinα＋π4＝________.(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角，cosα＝55，则tanπ4＋2α＝()A．－3B．－17C．－43D．－7解析：(1)cos2α2sinα＋π4＝cos2α－sin2α222sinα＋22cosα＝cosα－sinα，∵sinα＝35，α∈π2，π，∴cosα＝－45.∴原式＝－75.(2)依题意得，sinα＝255，故tanα＝2，tan2α＝2×21－4＝－43，所以tanπ4＋2α＝1－431＋43＝－17.答案：(1)－75(2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入[例2](2013·德州一模)已知函数f(x)＝2cos2x2－3sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且fα－π3＝13，求cos2α1＋cos2α－sin2α的值．[自主解答](1)∵f(x)＝2cos2x2－3sinx＝1＋cosx－3sinx＝1＋2cosx＋π3，∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．(2)∵fα－π3＝13，∴1＋2cosα＝13，即cosα＝－13.∵α为第二象限角，∴sinα＝223.∴cos2α1＋cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α2cos2α－2sinαcosα＝cosα＋sinα2cosα＝－13＋223－23＝1－222.由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1)(2012·赣州模拟)已知sinα＋π6＋cosα＝435，则sinα＋π3的值为()A.45B.35C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．解析：(1)由条件得32sinα＋32cosα＝435，即12sinα＋32cosα＝45.∴sinα＋π3＝45.(2)－1＝tan3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.答案：(1)A(2)2角的变换典题导入[例3](1)(2012·温州模拟)若sinα＋cosαsinα－cosα＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．[自主解答](1)由条件知sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，则tanα＝2.故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tanα1＋tanβ－αtanα＝－2－21＋－2×2＝43.(2)因为α为锐角，cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝35，sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π6＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250.[答案](1)43(2)17250由题悟法1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－π4－α；α＝π4－π4－α.以题试法3．设tan()α＋β＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4＝()A.1318B.1322C.322D.16解析：选Ctanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.[典例](2012·广东高考)已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋5π3＝－65，f5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)．[尝试解题](1)∵f(x)＝2cosωx＋π6，ω0的最小正周期T＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f(x)＝2cos15x＋π6，而α，β∈0，π2，f5α＋5π3＝－65，f5β－5π6＝1617，∴2cos155α＋5π3＋π6＝－65，2cos155β－5π6＋π6＝1617，即cosα＋π2＝－35，cosβ＝817，于是sinα＝35，cosα＝45，sinβ＝1517，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×817－35×1517＝－1385.——————[易错提醒]——————————————————————————1.在解答本题时有两点容易失误：1忽略角α，β的范围，求解cosα，sinβ的值时出错；2在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致错误.2.解决三角函数问题时，还有以下几点容易失误：1对公式记忆不准确而使公式应用错误；2三角公式不能灵活应用和变形应用；3忽略角的范围或者角的范围判断错误.——————————————————————————————————————针对训练1．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝13，则sinA的值为________．解析：由题意知，C－A＝π2，且C＋A＝π－B，故A＝π4－B2，则sinA＝sinπ4－B2＝22cosB2－sinB2，则sin2A＝12(1－sinB)＝13，又sinA0，则sinA＝33.答案：332．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈π2，π，β∈－π2，0，求cos2α的值．解：∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2，π＜2α－β＜5π2，而sin(2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2＜β＜0且sinβ＝－1213，∴cosβ＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝45×513－35×－1213＝5665.1．(2012·重庆高考)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：选A由题意可知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－3.2．(2012·南昌二模)已知cosx－π6＝－33，则cosx＋cosx－π3的值是()A．－233B．±233C．－1D．±1解析：选Ccosx＋cosx－π3＝cosx