高中数学：坐标系与参数方程

第3讲坐标系与参数方程感悟高考明确考向(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为_____．解析曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组x＋y＝1，y－x＝1，得x＝0，y＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为1，π2.1，π2考题分析本小题考查了极坐标的概念，曲线的极坐标方程以及利用曲线的极坐标方程求曲线的交点问题．考查了极坐标的基础知识以及运用极坐标解决问题的能力．易错提醒(1)易忽略ρ≠0的条件和0≤θ2π.(2)忽视极坐标与直角坐标的互化．主干知识梳理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx(x≠0).2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M(b，π2)且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于M(r，π2)，半径为r：ρ＝2rsinθ.4．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθy＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)．(2)双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecθy＝btanθ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2y＝2pt.热点分类突破题型一极坐标与直角坐标(方程)的互化例1(1)点P的直角坐标为(1，－3)，求点P的极坐标(0≤θ2π)；(2)将曲线的极坐标方程sinθ＝13化为直角坐标方程．思维启迪用极坐标与直角坐标的互化公式求解．解(1)∵P的直角坐标为(1，－3)，∴ρ＝12＋(－3)2＝2，tanθ＝yx＝－3.又点P在第四象限，0≤θ2π，∴θ＝5π3.∴P的极坐标为(2，5π3)．(2)∵sinθ＝13，∴ρsinθ＝13ρ，∴y＝13x2＋y2，∴x2＝8y2，∴y＝24x，y＝－24x.又y＝13x2＋y20，∴y＝24x(x0)和y＝－24x(x0)．探究提高(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．变式训练1求曲线ρ＝4sinθ的直角坐标方程．解∵ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.∴曲线的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.题型二曲线的极坐标方程的应用例2(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．思维启迪(1)化为直角坐标方程求交点，再将交点坐标化为极坐标．(2)直接联立极坐标方程求解．解析曲线ρ＝2sinθ化为直角坐标系方程为x2＋y2－2y＝0.由ρcosθ＝－1可化为x＝－1.将x＝－1代入x2＋y2－2y＝0得x＝－1，y＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为2，3π4.π)43,2(探究提高解决这类问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．变式训练2在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝1，圆C的圆心是C(1，π4)，半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长．解(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝π4－θ或∠AOD＝θ－π4，OA＝ODcos(π4－θ)或OA＝ODcos(θ－π4)，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(2)直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，圆心C的直角坐标为(22，22)，故C点满足直线l的方程，则直线l经过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径，为2.题型三参数方程及其应用例3(2009·海南)已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，曲线C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t(t为参数)距离的最小值．思维启迪点用参数表示，直线用普通解法的形式表示，将点M到直线的距离表示成参数的函数．解(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.C1为圆心是(－4,3)，半径为1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)．由于Q为C2上的动点，因此Q(8cosθ，3sinθ)，故M－2＋4cosθ，2＋32sinθ，直线C3的方程为：x－2y－7＝0，故点M到C3的距离为d＝55|4cosθ－3sinθ－13|.从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取得最小值855.探究提高(1)参数方程化普通方程的关键是消参数．要根据参数的特点进行．(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，如本例以θ为参数，就比较有利于问题的解决．变式训练3(2010·全国)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，圆C2：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，联立方程组y＝3(x－1)，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，(12，－32)．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x＝12sin2αy＝－12sinαcosα(α为参数)．P点轨迹的普通方程为(x－14)2＋y2＝116.故P点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．规律方法总结1．极坐标方程与普通方程互化核心公式：x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx.2．过点A(ρ0，θ0)倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin(θ0－α)sin(θ－α).特别地，①过点A(a,0)，(a0)，垂直于极轴的直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a.②平行于极轴且过点A(b，π2)(b0)的直线l的极坐标方程为ρsinθ＝b.3．圆心在点A(ρ0，θ0)半径为r的圆方程为r2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．4．重点掌握直线的参数方程x＝x0＋tcosθy＝y0＋tsinθ(t为参数)，理解参数t的几何意义.知能提升演练一、填空题1．极坐标方程分别为ρ＝cosθ与ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为________．解析圆心分别为(12，0)和(0，12)．222．设直线过极坐标系中的点M(2，π2)，且平行于极轴，则它的极坐标方程为________．解析在相应的直角坐标系中，直线的方程为y＝2.ρsinθ＝23．直线x＝3＋4ty＝4－5t(t为参数)的斜率为________．解析k＝y－4x－3＝－5t4t＝－54.－544．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6，直线l的参数方程为_______________________________．解析直线l的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝1＋tsinπ6，故答案为x＝1＋32t，y＝1＋12t.(t为参数)．x＝1＋32ty＝1＋12t(t为参数)5.直线x＝－2＋4t，y＝－1－3t(t为参数)被圆x＝2＋5cosθ，y＝1＋5sinθ(θ为参数)所截得的弦长为________．解析将直线化为普通方程：3x＋4y＋10＝0；将圆化为普通方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝25，圆心为(2,1)，半径为5，则圆心到直线3x＋4y＋10＝0的距离d＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝205＝4，则弦长的一半为3，则弦长为6.66．(2010·陕西)已知圆C的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________．解析∵y＝ρsinθ，∴直线l的直角坐标方程为y＝1.由x＝cosα，y＝1＋sinα得x2＋(y－1)2＝1.由y＝1，x2＋(y－1)2＝1得x＝－1，y＝1或x＝1，y＝1.∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．(－1,1)，(1,1)7．直线l的参数方程为x＝a＋ty＝b＋t(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是________．解析|P1P|＝[(a＋t1)－a]2＋[(b＋t1)－b]2＝2t21＝2|t1|.2|t1|8．直线x＝tcosθy＝tsinθ与圆x＝4＋2cosαy＝2sinα相切，则θ＝________.解析直线为xtanθ－y＝0，圆为(x－4)2＋y2＝4，圆心为(4,0)，∵|4tanθ|1＋tan2θ＝4sinθcosθ1cosθ＝|4sinθ|＝2，∴sinθ＝12或sinθ＝－12，∴θ＝π6或θ＝5π6.π6或5π6二、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－8xcosθ－6ysinθ＋7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圆心为P(x，y)，求2x－y的取值范围．解∵x2＋y2－8xcosθ－6ysinθ＋7cos2θ＋8＝0的圆心为(4cosθ，3sinθ)，又圆心为P(x，y)，∴x＝4cosθy＝3sinθ(θ为参数，θ∈R)，∴2x－y＝8cosθ－3sinθ＝73cos(θ＋φ)，∴－73≤2x－y≤73.即2x－y的取值范围是[－73，73]．`10．求圆ρ＝3cosθ被直线x＝2＋2t，y＝1＋4t(t是参数)截得的弦长．解将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ＝3cosθ即：x2＋y2＝3x，即(x－32)2＋y2＝94；又x＝2＋2ty＝1＋4t即：2x－y＝3，所以圆心到直线的距离d＝|2×32－0－3|22＋(－1)2＝0，即直线经过圆心，所以被直线截得的弦长为