二项式专题-系统训练总结-超级详细

1二项式定理专题第一部分：储备知识1.二项式定理：)*()(011111100NnbaCbaCbaCbaCbannnnnnnnnnn.2.二项式定理的说明：（1）()nab的二项展开式是严格按照a的降次幂（指数从n逐项减到0）、b的升次幂（数从0逐项减到n）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a、b的指数之和等于n。所以()nab与()nba的二项展开式是不同的。（3）二项式项数共有(1)n项，是关于a与b的齐次多项式。（4）二项式系数：展开式中各项的系数为1rnC，1,...,3,2,1nr.（5）二项式通项：展开式中的第r项记作rT，）（1,...,3,2,1111nrbaCTrrnrnr，共有(1)n项。（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是012,,,,,,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。如：nnrrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba）（）（）（）（）（----nr2221110的第2项的二次项系数为1nC，而第2项的系数为1nC.（7）常见二项式：令1,,abx)*()1(111100NnxCxCxCxCxnnnnnnnnn；令1,,abx)*()1()1(221100NnxCxCxCxCxnnnnnnnn.3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即knnknnnnnnnCCCCCC,,,110.（2）二项式系数和：令1ab，则二项式系数的和为：nnnnnnnCCCC2110，变形有：12321nnnnnnCCCC.（3）15314202nnnnnnnCCCCCC；（4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和：2已知nnnxaxaxaxaaxa22332102...)(2，则奇数项的系数和：naaaa2420...=_______________________________；偶数项的系数和：12531...naaaa=_______________________________；0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxCaxCaxCaxCaxaaxaxaxxaCaxCaxCaxCaxaxaxaxaxaaaaaaxaaaaaa令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和（5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数n是偶数时，则中间项为第）（12n项的二项式系数2nnC取得最大值；如果二项式的指数n是奇数时，则中间项有两项，分别为第21n项和第23n项，对应的二项式系数12nnC，12nnC同时取得最大值。22212nnnnnbaCT，1-2121-221nnnnnbaCT，121-21223nnnnnbaCT.（6）系数的最大、最小项的求法：求()nabx展开式中最大、最小项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为121,,,nAAA，设第1r项系数最大，应有：rrAA1且21rrAA；如果设第1r项系数最小，应有211rrrrAAAA且，从而解出r的范围。4.怎么求展开式中含的系数，其中且？解：把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为：，其系数为.ncba)(rqpcba,,,Nrqpnrqpnncbacba])[()(rCrrnrnCbaC)(rnba)(qbqpqrnqqrnqrnbaCbaCncba)(rqpcbarqpqrnrncbaCCrrqpnpnqrnrnCCCpqrnqrnqrnrnrnCC!!!!)!(!)!()!(!!35.近似计算的处理方法：当a的绝对值很小（趋近于0）且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分nnnnnnnnaCaCaCaC113322很小，可以忽略不计。类似地，有.但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求。若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：.第二部分：11种题型题型一：二项式定理的逆用；例：12321666.nnnnnnCCCC解：012233(16)6666nnnnnnnnCCCCC与已知的有一些差距，123211221666(666)6nnnnnnnnnnnCCCCCCC0122111(6661)[(16)1](71)666nnnnnnnnCCCC练：1231393.nnnnnnCCCC解：设1231393nnnnnnnSCCCC，则122330122333333333331(13)1nnnnnnnnnnnnnnnSCCCCCCCCC(13)14133nnnS题型二：利用通项公式求nx的系数；例：在二项式3241()nxx的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x的项的系数？解：由条件知245nnC，即245nC，2900nn，解得9()10nn舍去或，naan1)1(naan1)1(22)1(1)1(xnnnxxn4由2102110343411010()()rrrrrrrTCxxCx，由题意1023,643rrr解得，则含有3x的项是第7项6336110210TCxx,系数为210。练：求291()2xx展开式中9x的系数？解：291821831999111()()()()222rrrrrrrrrrrTCxCxxCxx，令1839r,则3r故9x的系数为339121()22C。题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式2101()2xx的展开式中的常数项？解：52021021101011()()()22rrrrrrrTCxCxx，令52002r，得8r，所以88910145()2256TC练：求二项式61(2)2xx的展开式中的常数项？解：666216611(2)(1)()(1)2()22rrrrrrrrrrTCxCxx，令620r，得3r，所以3346(1)20TC练：若21()nxx的二项展开式中第5项为常数项，则____.n解：4244421251()()nnnnTCxCxx，令2120n，得6n.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式93()xx展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)rrrrrrrTCxxCx，令276rZ,(09r)得39rr或，所以当3r时，2746r，334449(1)84TCxx，当9r时，2736r，3933109(1)TCxx。5题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若2321()nxx展开式中偶数项系数和为256，求n.解：设2321()nxx展开式中各项系数依次设为01,,,naaa1x令,则有010,naaa①，1x令,则有0123(1)2,nnnaaaaa②将①-②得：1352()2,naaa11352,naaa有题意得，1822562n，9n。练：若35211()nxx的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。解：0242132112rrnnnnnnnnCCCCCCC，121024n，解得11n所以中间两个项分别为6,7nn，56543551211()()462nTCxxx，611561462Tx题型六：最大系数，最大项；例：已知1(2)2nx，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：46522,21980,nnnCCCnn解出714nn或，当7n时，展开式中二项式系数最大的项是45TT和34347135()2,22TC的系数，434571()270,2TC的系数当14n时，展开式中二项式系数最大的项是8T，7778141C()234322T的系数。练：在2()nab的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即2112nnTT，也6就是第1n项。练：在31()2nxx的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则152n，即8n,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C例：写出在7()ab的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347TCab的系数最小，43457TCab系数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2nx的展开式中系数最大的项？解：由01279,nnnCCC解出12n,假设1rT项最大，12121211(2)()(14)22xx1111212111212124444rrrrrrrrrrrrAACCAACC，化简得到9.410.4r，又012r，10r，展开式中系数最大的项为11T,有121010101011121()4168962TCxx练：在10(12)x的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1rT项最大，1102rrrrTCx111010111121010222(11)12(10)22,rrrrrrrrrrrrCCAArrAArrCC解得，化简得到6.37.3k，又010r，7r，展开式中系数最大的项为7777810215360.TCxx题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)xx的展开式中x的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]xxxx，2515(2)(3)rrrrTCxx，当且仅当1r时，1rT的展开式中才有x的一次项，此时124125(2)3rTTCxx，所以x得一次项为1445423CCx7它的系数为1445423240CC。解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)xxxxCxCxCCxCxC故展开式中含x的项为4554455522240CxCCxx，故展开式中x的系数为240.练：求式子31(2)xx的常数项？解：3611(2)()xxxx，设第1r项为常数项，则66261661(1)()(1)rrrrrrrTCxCxx，得620r,3r,33316(1)20TC.题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)xxx求