二项式定理-⑶二项式系数的性质①

二项式定理（见例3）复习关键点通项公式（第r+1项）：1(0,1,2,,)nrrrnrCabnTrnnrnnnnnCCCCCC3210、、、二项式系数依次是：12012211()rnnnnnnnnrnnnnnrnnabCCCCCaababababbC2222bababababa3223333babbaaba4322344464babbabaaba543223455510105babbababaaba1246510111111111334510探究规律一三四六五十一一二一一三一一四一一五十一一杨辉三角人物介绍一三四六五十一一二一一三一一四一一五十一一杨辉三角一三四六五十一一二一一三一一四一一五十一一0nC1nC2nCrnCnnCrnnrnCCrn1-rnr1nCCC总结规律⑴二项式系数的对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；210213rnnnnnnnnnnnCCCCCCCC、、、、、总结规律∴二项式系数是的项是例1.在(a+b)12的展开式中，与第五项的二项式系数相等的是第几项？解：T5的二项式系数是412C812412CC812CT9∴与第五项的二项式系数相等的是第9项.范例讲解练习1.在（a+b)n的展开式中，与第m项的系数相等的项是（）（A）（C）（B）（D）项第mn项第1mn项第1mn项第2mn项第2mnm-11nn(1)1CCnmmnmTT巩固练习练习2.在（1-x)20的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值？4rr22020CC?4r-1r2-12020CC∴4r-1=r+1∴r=2/3(舍)或4r-1+r+1=20或r=4解：∵第4r项和第r+2项的二项式系数相等∴r=4巩固练习一三四六五十一一二一一三一一四一一五十一一杨辉三角f(r)=rnC探究规律2468101214161820369f(r)Or2224262830323436f(r)=r7C2468101214161820369f(r)Orf(r)=r6C特殊观察1rnrnCC=)!(!!rnrn)!1()!1(!rnrn1rn=r=1nr11212nrr01221nn一般推理rnCrnC⑵二项式系数的增减性：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值；T12nT21nT121n总结规律解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值：例2.写出在（a-b)7的展开式中，二项式系数最大的项？3437C4baT43475CbaT（第4、5项）范例讲解例3.写出在（a-b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？3437C4baT43475CbaT系数最大.系数的绝对值最大，系数最小；解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有：（第4、5项）范例讲解练习3.在（a+b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是（）（A）（C）（B）（D）项第12n项第1n项第n项项和第第nn1项第1n巩固练习二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大.T212n练习4.在（x+y)n的展开式中，第四项与第八项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（）（A）（C）（B）（D）项第6项第6,5项第5项第7,6巩固练习与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,第四项与第八项的“对称轴”为“(4+8)÷2＝6”.思考1:求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：∵0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn012123112nnnnnnCCCnCn倒序相加法思考2求证:02122222()()()().nnnnnnnCCCCC略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCCmnmnnCC02122222()()()().nnnnnnnCCCCC思考3.在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC即3(r+1)≥2(20-r)得2(21-r)≥3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为227855r812812892032TCxy课堂小结⑴二项式系数的对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵二项式系数的增减性：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.T12nT21nT121n