椭圆的几何性质2(第二定义)

22221(0)xyabab|x|≤a,|y|≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称22221(0)xyabba|x|≤b,|y|≤a(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.abceaa2=b2+c2(b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)(0,c)、(0,-c)标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a,b,c的关系图形1oFyx2FM∈(0,1)准线方程2axc12yoFFMxca2y=例6、点M（x,y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l:的距离的比是常数，求点M的轨迹。254x4545MFPMd22442554xyx22925225xy221259xy解：254x设d是点M到直线l：的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合由此得将上式两边平方，并化简得即所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。（如图）xyOMFHl··观察画图，你能得到什么结论？信息技术画图1信息技术画图2当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数)10(eace时,这个点的轨迹是椭圆,这叫做椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.0xyM(,0)Fccax2(,0)Fc对于椭圆相应与焦点)0(12222babyax)0,(cF的准线方程是cax2由椭圆的对称性,相应与焦点)0,(cF的准线方程是2axc2axc能不能说M到F’(-c,0)的距离与到直线的距离比也是离心率e呢?cax2“三定”：定点是焦点；定直线是准线；定值是离心率。22221(0)xyabab1F00(,)Mxy2axc2axcxyO2FAB由椭圆第二定义知注:所用焦点要与准线同侧,焦点在y轴的同理可得.|MF2|=e|MB|=e(a2/c-x0)=a-ex0|MF1|=e|MA|=e[x0-(-a2/c)]=a+ex0下焦半径|PF1|=a+ey0,上焦半径为|PF2|=a-ey0(2)点p(x0,y0)的在椭圆左焦半径为|MF1|=a+ex0，右焦半径为|MF2|=a-ex0(1)点M(x0，y0)在椭圆22221(0)xyabba椭圆的焦半径公式上，上,|MF2||MB|=e|MF1||MA|=e∴∵∴（焦半径：椭圆上任意点到焦点的距离）y(,0)a(,0)aOx(0,)b(0,)bF222abc2axc2axc椭圆中的特殊三角形及通径abc椭圆的通径：过焦点且垂直于焦点所在的轴的直线被椭圆所截得的线段长度。AB22baAB=D在Rt⊿OFD中，如图的AB点P(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有：点在圆C外点在圆C内点在圆C上(x-a)2+(y-b)2r2=r2r2CPPP(3)点P在椭圆外,则(2)点P在椭圆上,则(1)点P在椭圆内,则的关系:8.点Ｐ(x0,y0)和椭圆22221(0)xyabab2200221xyab2200221xyab2200221xyab复习点与圆的位置关系例7、已知椭圆，直线l:4x-5y+40=0，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？221259xy224501259xykxy22402545d154141154141解：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交，设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0①由方程组消去y，得25x2+8kx+k2-225=0②令方程②的根的判别式⊿＝0，得解方程③得64k2-4×25(k2-225)=0k1=25,或k2=-25由图可知，当时直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为。直线m与直线l间的距离所以,最小距离是xyOmlF2F1··m最大距离是多少？椭圆与直线的关系？怎么判断它们之间的位置关系？问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？drdrd=r∆0∆0∆=0几何法：代数法：相离相切相交问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题2：椭圆与直线的位置关系？不能！所以只能用代数法----求解直线与二次曲线有关问题的通法。因为他们不像圆一样有统一的半径。相离相切相交例1、已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。2121xyx2+4y2=2解：联立方程组消去y01452xx∆0因为所以，方程（１）有两个根，那么，相交所得的弦的弦长是多少？弦长公式：2||1||ABABkxx221)4ABABkxxxx（则原方程组有两组解….-----(1)由韦达定理12124515xxxx小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。∆0∆=0∆0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）1、直线与圆相交的弦长A（x1,y1）小结：直线与二次曲线相交弦长的求法dr2l2、直线与其它二次曲线相交的弦长（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）利用弦长公式:|AB|=22121214kxxxx（）12122114yyyyk2（）k表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点坐标，一般由韦达定理求得|x1-x2|与|y1-y2|通法B（x2,y2）=设而不求222222223110(2)1abab2212,4ab|PB|=|PA|=3,解:补例1：如图，等腰RtΔAPB的一条直角边AP在y轴上，A点在x轴下方，B点在y轴右方，斜边AB的边长为3√2，1byax2222若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C且AB两点均在椭圆C：(a＞b＞0)上由题意可得∴B(3,1),A(0,-2),代入椭圆方程可得221124xy解得∴所求椭圆C的方程为例2：已知椭圆E的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），222210xyabab221914ab22143xy（1）求椭圆E的方程；（2）若点P在椭圆E上，且满足PF1×PF2=t,求实数t的取值范围。点C（1，3/2）在椭圆E上。解：依题意,设椭圆E的方程为由已知半焦距c=1∴a2-b2=1∵点C（1，3/2）在椭圆E上,∴解①②得a2=4,b2=3②①∴椭圆E的方程为（1）法1：（1）法2：222210xyabab22143xy依题意,设椭圆E的方程为∵点C（1，3/2）在椭圆E上,∴2a=|CF1|+|CF2|=4即a=2由已知半焦距c=1∴b2=a2-c2=3∴椭圆E的方程为解:(2)12PFPFt2200143xy设P(x0,y0),由得(-1-x0,-y0)×(1-x0,-y0)=t,即x02+y02=t+1∵点P在椭圆上,∴由③得y02=t+1-x02代入④，并整理得x02=4(t-2)由④知，0≤x0≤4结合⑤⑥解得，2≤t≤3∴实数t的取值范围国[2，3]③④⑥⑤例2：已知椭圆E的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），（1）求椭圆E的方程；（2）若点P在椭圆E上，且满足PF1×PF2=t,求实数t的取值范围。点C（1，3/2）在椭圆E上。应用：1、求下列椭圆的准线方程：①x2＋4y2＝4②181y16x22＝＋2.已知P是椭圆上的点,P到右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为_________.136y100x22＝＋3、已知P点在椭圆上，且P到椭圆左、右焦点的距离之比为1:4，求P到两准线的距离.116y25x22＝＋4、求中心在原点、焦点在x轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1、与相近的一条准线距离为的椭圆标准方程。35