椭圆的定义与标准方程(优质课比赛)

太阳系2.2.1椭圆及其标准方程普宁侨中郑庆宏尝试实验，形成概念•[1]取一条细绳；•[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2；•[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形。F1F2M观察做图过程：[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。[2]由于绳长固定，所以M到两个定点的距离和也固定。动手画：1.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？1.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？F1F2M平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。1、椭圆的定义如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：P={M||MF1|+|MF2|=2a（2a2c）}．（1）平面曲线；（2）到两定点F1，F2的距离和等于定长；（3）定长﹥|F1F2|。反思：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy(对称、“简洁”)xF1F2Ｐ(x,y)0y设P(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c(c0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c)（问题：下面怎样化简？）aPFPF2||||21222221)(||,)(||ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件：由于得方程222222bayaxb22ba两边除以得).0(12222babyax设所以即,0,,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxa2222222222422yacacxaxaxccxaa两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方椭圆的标准方程刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题：下面怎样化简？）aPFPF2||||21222221)(||,)(||cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件：由于得方程aycxycxx2)()(2222轴　　焦点在).0(12222babyaxoyx1F2F),(yxPoyx2F1F),(yxP12222byax12222bxay如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c))0(12222babyax)0(12222babxay♦椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1。（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反之求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点就在哪一个轴上。并且哪个大哪个就是a2。2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上。222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹。12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断♦再认识！xyF1F2POxyF1F2PO22221.153xy，则a＝，b＝；22222.146xy，则a＝，b＝；5346口答：则a＝，b＝；则a＝，b＝．37169.322yx6147.422yx2快速练习：1.判定下列椭圆的焦点在那条轴上?并指出焦点坐标。11625)1(22yx答：在X轴。（-3，0）和（3，0）1169144)2(22yx答：在y轴。（0，-5）和（0，5）判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？192522xy变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？192522yx192522xy已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；221259xy2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：分组练习：求椭圆的焦点坐标与焦距1615)1(22yx答：焦点（-3，0）（3，0）焦距2c=6116925)2(22yx答：焦点（0，-12）（0，12）焦距2c=24例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。14)1(22yx154)2(22yx434)3(22yx解：椭圆方程具有形式12222byax其中1,2ba因此31422bac两焦点坐标为)0,3(),0,3(椭圆上每一点到两焦点的距离之和为42a11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx练习1.下列方程哪些表示椭圆？22,ba若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?两个焦点分别是(-2，0)，(2，0)，且过点P1F2F),62,3(例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：法一:c=2法二:c=2设椭圆标准方程为:12222byax2a=P+P2F1F写出适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为)0(12222babxay∵c=2，且c2=a2-b2∴4=a2-b2……①又∵椭圆经过点P2523，∴……②1)()(22232225ba联立①②可求得：6,1022ba∴椭圆的标准方程为161022xy(法一)xyF1F2P2523，(法二)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa　　又　　所以所求椭圆的标准方程为.161022xy)0(12222babxay求椭圆的标准方程的步骤：（1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b（后定量）1.求适合下列条件的椭圆方程1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；2.b=1，，焦点在y轴上15c3、若椭圆满足:a＝5,c＝3,求它的标准方程。,10||||21PFPF如图:求满足下列条件的椭圆方程解：椭圆具有标准方程12222byax其中102,82ac因此91625222cab,5,4ac所求方程为192522yx例3.求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程8||21FF如图,在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？224xyyxo解：设所得曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆上的对应点的坐标为（x’，y’），由题意可得：224xy2xxyy因为即为所求轨迹方程．所以22''4xy2244xy2214xy如图,设点Ａ，Ｂ的坐标分别为(-5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点Ｍ，且它们的斜率之积是，求点Ｍ的轨迹方程．49xyOABM解：设点Ｍ的坐标为(x,y),因为点Ａ的坐标为(-5,0),所以，直线AM的斜率(5);5AMykxx同理，直线BM的斜率4(5)559yyxxx由已知有221(5).100259xyx化简,得点M的轨迹方程为(5);5BMykxx练习3.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是.22xy+=14m(0,4)变1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是.22xy+=1m-13-m(1,2)小结：求椭圆标准方程的方法一种方法：二类方程:三个意识：求美意识，求简意识。12222byax012222babxay2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上。222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹。12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO