椭圆的定义及几何性质

椭圆【教学目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教学过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3）,，；知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析考点一：椭圆的定义【例1】方程10222222yxyx化简的结果是。【例2】已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为（）A圆B椭圆C线段D直线【变式训练】已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为。考点二：求椭圆的标准方程【例3】若椭圆经过点(5，1)，(3，2)则该椭圆的标准方程为。【例4】ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．22169xy＋【例5】求以椭圆229545xy的焦点为焦点，且经过点(2,6)M的椭圆的标准方程．【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且213a，212c的椭圆的标准方程为。2、焦点在x轴上，1:2:ba，6c椭圆的标准方程为。3、已知三点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0），求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；4、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．考点三：利用标准方程确定参数【例6】若方程25xk+23yk=1（1）表示圆，则实数k的取值是.（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.【例7】椭圆22425100xy的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于。【变式训练】1、椭圆2214xym的焦距为2，则m=。2、椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k。考点四：离心率的有关问题一、求离心率1、用定义（求出a,c或找到c/a）求离心率（1）已知椭圆C:22221,(0)xyabab的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF,且椭圆C经过点41(,)33P.则椭圆C的离心率。（2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）（3）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.（4）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线距离为1，则该椭圆的离心率为。2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e。2220()0nccmanacpcmpmaa（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A.B.C.D.（2）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为)0,0(12222babyax,右焦点为12FF2222:1(0)xyEababP32ax21FPF30E()A12()B23()C()D22221xyab54535251F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为1d,F到l的距离为2d,若126dd,则椭圆C的离心率为_______.（3）设椭圆的两个焦点分别为F1.F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）1、直接根据题意建立,ac不等关系求解.（1）椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若12MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是。（2）已知21,FF为椭圆012222babyax的焦点，B为椭圆短轴上的端点，2121212BFBFFF，求椭圆离心率的取值范围。2、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立,ac不等关系求解设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是。3、利用圆锥曲线相关性质建立,ac不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）（1）椭圆22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则椭圆离心率的取值范围为。（2）已知椭圆22221(0)xyabab右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。（3）椭圆）（012222babyax和圆2222cbyx（其中c为椭圆半焦距）有四个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围。考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用【例14】已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积．【变式训练】1、若P是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，求△21PFF的面积.2、已知P是椭圆192522yx上的点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121PFPFPFPF，则△21PFF的面积为（）A.33B.32C.3D.33课后作业：一、选择题1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=25，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线3已知方程22111xykk表示椭圆，则k的取值范围是()A-1k1Bk0Ck≥0Dk1或k-117、椭圆32x＋22y=1与椭圆22x＋32y=(0)有（）(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对18、椭圆192522yx与125922yx（0k9）的关系为（）(A)相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线(D)有相等的长轴、短轴二、填空题2、椭圆221169xy左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为______4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则⊿ABC的重心G的轨迹方程为______________________6.椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______椭圆方程为___________________.8已知椭圆的方程为22143xy，P点是椭圆上的点且1260FPF,求12PFF的面积9.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为10.椭圆13610022yx上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是11．已知椭圆)5(125222ayax的两个焦点为1F、2F，且821FF，弦AB过点1F，则△2ABF的周长。13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为4x,那么这个椭圆的方程为。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e=.15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为18y,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为___________________。16.已知P是椭圆90025922yx上的点,若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为。19、椭圆12622yx上一点P到左准线的距离为2，则点P到右准线的距离为。20、点P为椭圆1162522yx上的动点,21,FF为椭圆的左、右焦点,则21PFPF的最小值为__________,此时点P的坐标为________________。.