3.1.2瞬时速度与导数

1.1.2瞬时速度与导数【学习要求】1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率．3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法．4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．tsv/物体做匀速直线运动，速度是路程与时间的比：如果物体做变速直线运动，其速度如何刻画呢？问题探究一：瞬时速度设物体运动路程与时间的关系s=f(t).从t0到t0+△t这段时间内，物体运动的平均速度是：000()()fttftsvtt例.设在10米跳台上，运动员跳离跳台时垂直向上的速度为6.5m/s。运动员在时刻t距离水面的高度：其中g为重力加速度，于是tgtt5.62110h22/8.9gsmttt5.69.410h2用0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度v来粗略地描述其运动状态．在0≤t≤0.5这段时间里，v＝h0.5－h00.5－0＝4.05(m/s)；在1≤t≤2这段时间里，v＝h2－h12－1＝－8.2(m/s)．物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，易知h(6549)＝h(0)，v＝h6549－h06549－0＝0，而运动员依然是运动状态．下面探讨例题中运动员在时的瞬时速度。（计算结果见课本P79）s2t那么在某一时刻t0运动的速度（瞬时速度）是什么呢？1.定义我们把物体在某一时刻的速度称为．设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率st0＋Δt－st0Δt，当Δt→0时的极限，即v＝limΔt→0ΔsΔt＝瞬时速度limΔt→0st0＋Δt－st0Δt例1.火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?火箭熄火后约10.2s向上速度变为0.火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？最大高度h＝100×100g－12g×100g2＝10022g≈510.2(m)．练习1：质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．a＝2从平均速度当Δt→0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？对函数y＝f(x)来说，f(x)在点x＝x0附近改变Δx时，平均变化率为fx0＋Δx－fx0Δx.当Δx→0时，如果平均变化率趋于一个常数l，则l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．探究二：导数函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．2.函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率（1）定义式：limΔx→0ΔyΔx＝(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，趋近的量。（3）作用：刻画函数在某一点处变化的快慢。limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx平均变化率平均变化率与瞬时变化率的关系3．(1)函数在一点处导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的，记为或即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝(2)实质：函数y＝f(x)在x0处的导数即函数y＝f(x)在x＝x0处的limΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx导数f′(x0)瞬时变化率0x=xy'|例2.利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．f′(2)＝－1.练习2已知y＝f(x)＝x＋2，求f′(2)．14.小结求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.()/16fa=+2m练习3CD练习3课本P82练习A、B4．导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的．记为或y′(或y′x)．导函数通常简称为.可导导函数f’(x)导数导函数和函数在一点处的导数有什么关系？若函数f(x)在区间(a，b)内可导，对(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，f′(x)就叫函数y＝f(x)的导函数．函数f(x)在点x＝x0处的导数是导函数y＝f′(x)在x＝x0处的函数值．导数的实际应用例3一正方形铁板在0℃时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀．当温度为t℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．200(a＋a2t)．1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量Δx()A．大于0B．小于0C．等于0D．不等于0D课堂练习2．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是()A．at0B．－at0C.12at0D．2at0A3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是()A．3B．－3C．2D．－2B4．已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝________.－121．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值．2．利用导数定义求导数的步骤：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx；(3)取极限得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.