椭圆的弦的中点问题的解题方法及技巧

221..yxxy例求直线=+1被椭圆+2=4所截得的弦的中点坐标依据：中点坐标公式法一：求交点，得中点法二:用根系关系.设而不求，避免繁琐的运算22224:3+42=0=+1xyxxyx+=解由得0显然112212+2==-23xyxyxyxxx设弦的端点为，，，中点为，则1131212++1+=22yyxxy21-33中点坐标为，22.4936ABABM11AB.xy例2已知一直线与椭圆+=交于、两点，且弦的中点坐标，，求直线的方程关键：需求AB的斜率AMB法一:待定系数法.根系关系建立k的方程11ABABykx解：显然的斜率存在，设：2211936ykxxy由4222418191360kxkkxk得9122181124M112kkxxABk的中点，949k0可使9130AB4xy：法二：代点求差法(点差法)1122ABABx,yx,y解：设又在椭圆上，则22229369361122xyxy44121212124+9=0xxxxyyyy得：相减M11AB的中点，12121122xxyy12128180xxyy49ABk9130AB4xy：检验：AB确实与椭圆相交故：为所求91304xyAMB一.直线方程的五种形式bkxy00()yykxx1byax点斜式斜截式两点式截距式不垂直于x轴的直线不垂直于x轴的直线不垂直于x、y轴的直线不垂直于x、y轴，不过原点的直线112121yyxxyyxx一般式Ax+By+C=02、斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或直线与椭圆的位置关系：相离相切相交通过联立方程组，用法0无交点0一个交点0两个交点=②弦长公式：22212112ABxxyyxx221122114yAyyykB22212114AkxxBxx22yxxy例求直线=+1被椭圆+2=4所截得的弦的中点坐标1..依据：中点坐标公式法一：求交点，得中点法二:根系法.设而不求，避免繁琐的运算22.4936ABABM11AB.xy例2已知一直线与椭圆+=交于、两点，且弦的中点坐标，，求直线的方程关键：需求AB的斜率AMB求中点弦所在的直线方程：根系法与点差法(1)其中点差法有利于处理弦的中点坐标与斜率的关系，简化了解题过程.(2)两种解法，都要使所求直线与椭圆有两个交点，否则解题不严密.22xy例已知椭圆+=，此椭圆的一组平行弦的斜率是，求这些弦的中点的轨迹方程3.49363.2AMB法一；中点可用根系法法二:点差法求弦的中点的轨迹22xy例已知椭圆+=，及椭圆外一点，，过的直线与椭圆交于、两点，求的中点的轨迹方程14.1M02M2ABAB.AMB解决与弦的中点有关问题：三种类型;求中点，求以定点为中点的弦的直线方程求弦的中点的轨迹二种解法;点差法，根系法两个注意;求以定点为中点的弦的直线方程时直线与椭圆要有两个交点求弦的中点的轨迹时中点要在椭圆内作业1、教材第49面习题A组第8题；2、已知椭圆221164xy，求：（1）以P（2，－1）为中点的弦所在直线的方程；（2）过Q（8，2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程．例已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.例1中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程．中点问题例4.已知点A(4,2)是直线l被椭圆截得线段的中点,求直线l的方程193622yx例3、P（1，1）为椭圆22142xy内的一定点，过P点引一弦，与椭圆相交于A、B两点，且P恰为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程及弦AB的长．xyABOP22143xy4yxm例4、已知椭圆C：，试确定m的取值范围，使对称．得椭圆上有两个不同的点关于直线2.弦的中点问题193622yx练习:椭圆中,过P(1,1)的弦恰被P点平分,求该弦所在直线的斜率.14222yx练习巩固:3.(随堂通58P第2题)若椭圆221369xy的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为()(A)2(B)-2(C)13(D)124.(随堂通74P例4)设AB、是双曲线2212yx上的两点,点(1,2)N是线段AB的中点.⑴求直线AB的方程;⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于CD、两点,那么ABCD、、、四点是否共圆?为什么?D1yx共圆课外练习:1.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M、N两点，过原点与线段MN的中点的直线斜率22，则nm的值是()(A)22(B)322(C)229(D)27322.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M、N两点，过原点与线段MN的中点的直线斜率22，则nm的值是()(A)22(B)322(C)229(D)27323.过点A()21，的直线与双曲线xy2221交于MN、两点，求弦MN的中点P的轨迹方程.B作业:自学随堂通49P例2、71P例43.过点A()21，的直线与双曲线xy2221交于MN、两点，求弦MN的中点P的轨迹方程.解：设Mxy()11，，Nxy()22，，则xyxy121222222121，，两式作差并整理，得yyxxxxyy121212122设弦MN的中点Pxy()00，，又kkMNAP，且xxxyyy12012022，。则yxxy0000122所以所求中点P的轨迹方程是24022xxyy1.巳知椭圆,求过P(1/2,1/2)且被P平分的弦所在的直线方程.1222yx:作业