椭圆的标准方程

在我们实际生活中，同学们见过椭圆吗？能举出一些实例吗？想一想如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一.课题引入：•请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部，并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是什么曲线。反思•（1）在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定的还是运动的？•（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？•（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？动手实验椭圆的画法结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？（1）在平面内（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a（3）定长2a﹥|F1F2|注：所成曲线是椭圆所成曲线是线段没有图形212121FF2aFF2aFF2a反思：F1F2M平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|+|MF2|=2a注：定义中对“常数”加上了一个条件，即距离之和要大于|F1F2|(2a2c,ac0)F1F2M1231、椭圆的定义OXYF1F2M2.椭圆方程的建立步骤一：建立直角坐标系,设动点坐标步骤二：找关系式步骤三：列方程步骤四：化简方程步骤五：验证求曲线方程的步骤:3.方程的推导•以两定点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)。•设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-c，0)，F2(c，0)，且M到F1，F2的距离和为2a.yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)由椭圆的定义,可知：|MF1|+|MF2|=2a由两点间的距离公式，可知：2ayc)(xyc)(x2222XYOF1F2(c,0)M(-c,0)(x,y)2222yc)(x2ayc)(x所以2222222yc)(xyc)(x4a4ayc)(x:两边平方得222yc)(xacxa即：两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因2a2c，即ac，故a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式,可得：yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)1cayax22222两边同时除以a2(a2-c2)得：这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．0)b1(abyax22224．椭圆标准方程分析我们把方程叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2－b2．如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c).这里c2=a2-b2．方程是怎样呢？0)b1(abyax2222yMxoF1F2(-c,0)(c,0)(x,y)OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c))0(12222babyax)0(12222babxay3、椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。22221.153xy，则a＝，b＝；22222.146xy，223.194xy，则a＝，b＝；则a＝，b＝；则a＝，b＝．224.137xy，534632372.写出a,b的值，并判定下列椭圆的焦点在什么轴上，写出焦点坐标动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为-------------（）A.椭圆B.线段F1F2C.直线F1F2D.不能确定B1162522yx(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD15422yx(2)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则△F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)25253252xyF1F2PO例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且椭圆经过点P。)23,25((1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：)0(12222babyax2a=10，2c=8即a=5，c=4故b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：192522yx(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且椭圆经过点P。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：)0(12222babyax由椭圆的定义可知：又因c=2，所以椭圆的标准方程为：16y10x22)23,25(102)23()225()23()225(22222a10所以a故b2=a2-c2=10-22=6求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a=4,b=1,焦点在x轴上；(4)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P()点；23,25221106xy11622yx(2)a=4,,焦点在y轴上；15c11622xy(3)a+b=10,;52c11636116362222xyyx或2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断复习总结xyF1F2POxyF1F2PO•例2如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2。从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？PDM练习：如图，设点A,B的坐标分别为（－5，0），（5，0）。直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率之积为49，求点M的轨迹方程。ABMO练习：P36T4图