3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引3．1.4空间向量的正交分解及其坐标表示No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.空间向量基本定理．(重点)2.用基底表示已知向量．(难点)3.在不同坐标系中向量坐标的相对性．(易错点)No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1．平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.不共面的向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组．2．在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量．a＝λ1e1＋λ2e2基底正交分解No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引3．若a＝(1，－1)，b＝(－1,3)，c＝(3,5)，则使c＝xa＋yb成立的实数x＝，y＝.4．在各棱长均为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为面A1B1C1D1的中心，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，你能否用a，b，c表示出AO→？表示出的结果还有没有其他表示方法？74No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c，那么对于空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，都叫做基向量．不共面xa＋yb＋zca，b，cNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2．空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底三个有公共起点O的的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．空间直角坐标系以e1，e2，e3的为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它，使它的与原点O重合，得到向量OP→＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝.把称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作.两两垂直公共点平移起点xe1＋ye2＋ze3p＝(x，y，z)No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2aC．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－cNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引答案：C解析：不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a＋2b＝32(2a)z＋(－2)(a－b)，三个向量共面；B中，b＋2a＝32(2b)＋(－2)(b－a)，三个向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三个向量共面，只有C中的三个向量不共面．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示向量MN→为()A.12a＋12b＋12cB.12a－12b＋12cC．－12a＋12b＋12cD．－12a＋12b－12cNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引答案：C解析：如右图所示，连结ON，AN，则ON→＝12(OB→＋OC→)＝12(b＋c)，AN→＝12(AC→＋AB→)＝12(OC→－2OA→＋OB→)＝12(－2a＋b＋c)＝－a＋12b＋12c，所以MN→＝12(ON→＋AN→)＝－12a＋12b＋12c.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则A1C→的坐标为________，CD1→的坐标为________．解析：A1(0,0,1)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)A1C→＝(1,1，－1)，CD1→(－1,0,1)答案：(1,1，－1)(－1,0,1)No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引4.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝3∶1，用向量a，b，c表示以下向量．(1)AP→；(2)AM→；(3)AN→；(4)AQ→.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引解析：(1)因为P是CA′的中点，所以AP→＝12(AC→＋AA′→)＝12(AB→＋AD→＋AA′→)＝12(a＋b＋c)．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引(2)因为M是CD′的中点，所以AM→＝12(AC→＋AD′→)＝12[(AB→＋AD→)＋(AD→＋AA′→)]＝12AB→＋AD→＋12AA′→＝12a＋b＋12c.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引(3)因为N是C′D′的中点，所以AN→＝12(AC′→＋AD′→)＝12[(AB→＋AD→＋AA′→)＋(AD→＋AA′→)]＝12AB→＋AD→＋AA′→＝12a＋b＋c.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引(4)因为CQ∶QA′＝3∶1.所以AQ→＝AA′→＋14A′C→＝AA′→＋14(AB→＋AD→－AA′→)＝14AB→＋14AD→＋34AA′→＝14a＋14b＋34c.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引以下四个命题中正确的是()A．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量C．若向量a⊥b，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引根据空间基底的定义逐个选项判断．[解题过程]答案：B选项判断原因分析A×由空间向量基本定理知，空间中任何一个向量必须由不共面的三个向量才能表示B√基向量不共面，因此不可能有零向量C×基底中的两个基向量是可以垂直的，正交基底中三个基向量两两垂直D×基底的构成必须是三个不共面的向量No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引[题后感悟](1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面解析：由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的．故D错．答案：ANo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且OP→＝2e1－e2＋3e3，OA→＝e1＋2e2－e3，OB→＝－3e1＋e2＋2e3，OC→＝e1＋e2－e3，能否以{OA→，OB→，OC→}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP→.[策略点睛]No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引[解题过程]假设OA→，OB→，OC→共面，据向量共面的充要条件有：OA→＝xOB→＋yOC→则有：e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，∴－3x＋y＝1，x＋y＝2，x－y＝－1.此方程组无解，∴OA→，OB→，OC→不共面．∴{OA→，OB→，OC→}可作为空间的一个基底．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引设OP→＝mOA→＋nOB→＋zOC→，有：2e1－e2＋3e3＝m(e1＋2e2－e3)＋n(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(m－3n＋z)e1＋(2m＋n＋z)e2＋(－m＋2n－z)e3.∴m－3n＋z＝2，2m＋n＋z＝－1，－m＋2n－z＝3.∴m＝17，n＝－5，z＝－30.∴OP→＝17OA→－5OB→－30OC→.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引[题后感悟]判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}；⑤{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间基底的向量组有()A．1个B．2个C．3个D．4个No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引答案：C解析：如图所示，设a＝AB→，b＝AA1→，c＝AD→，则x＝AB1→，y＝AD1→，z＝AC→，a＋b＋c＝AC1→，由A、B1、C、D1四点不共面，可知向量x、y、z也不共面，同理可知a，b，y和a、x、y和x、y、a＋b＋c也不共面．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.试用向量a，b，c表示向量OG→和GH→.由题目可获取以下主要信息：①{a，b，c}是一个基底，②空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心．解答本题可利用重心的性质，再结合图形进而求得结果．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引[解题过程]∵OG→＝OA→＋AG→，而AG→＝23AD→，AD→＝OD→－OA→，又D为BC中点．∴OD→＝12(OB→＋OC→)，∴OG→＝OA→＋23AD→＝OA→＋23(OD→－OA→)＝OA→＋23×12(OB→＋OC→)－23OA→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝13(a＋b＋c)．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第三章空间向量与立体几何栏目导引而GH→＝OH→－OG→，又∵OH→＝23OD→＝23×12(OB→＋OC→)＝13(b＋c)，∴GH→＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a.∴OG→＝13(