北京数学理解析版-2015年普通高等学校招生全国统一考试

恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第1页2015年北京高考数学（理科）真题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i2iA．12iB．12iC．12iD．12i2．若x，y满足010xyxyx≤，≤，≥，则2zxy的最大值为A．0B．1C．32D．23．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A．22，B．40，C．44，D．08，4．设，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．“m∥”是“∥”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A．25B．45C．225D．56．设na是等差数列.下列结论中正确的是A．若120aa，则230aaB．若130aa，则120aaC．若120aa，则213aaaD．若10a，则21230aaaa7．如图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式2log1fxx≥的解集是A．|10xx≤B．|11xx≤≤C．|11xx≤D．|12xx≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油开始x=1，y=1，k=0s=x-y，t=x+yx=s，y=tk=k+1k≥3输出(x，y)结束是否正(主)视图11俯视图侧(左)视图21ABOxy-122C恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第2页D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在52x的展开式中，3x的系数为．（用数字作答）10．已知双曲线22210xyaa的一条渐近线为30xy，则a．11．在极坐标系中，点π23‚到直线cos3sin6的距离为．12．在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．13．在ABC△中，点M，N满足2AMMC，BNNC．若MNxAByAC，则x；y．14．设函数21421.xaxfxxaxax‚‚‚≥①若1a，则fx的最小值为；②若fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数2()2sincos2sin222xxxfx．(Ⅰ)求()fx的最小正周期；(Ⅱ)求()fx在区间[π0]，上的最小值．16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第3页为乙．(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ)如果25a，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF△为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC∥，4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点．(Ⅰ)求证：AOBE；(Ⅱ)求二面角FAEB的余弦值；(Ⅲ)若BE平面AOC，求a的值．OFECBA18．（13分）已知函数1ln1xfxx．（Ⅰ）求曲线yfx在点00f，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当01x，时，323xfxx；恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第4页（Ⅲ）设实数k使得33xfxkx对01x，恒成立，求k的最大值．19．（14分）已知椭圆C：222210xyabab的离心率为22，点01P，和点Amn，0m≠都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第5页20．（13分）已知数列na满足：*1aN，136a≤，且121823618nnnnnaaaaa，≤，，12n，，…．记集合*|nManN．（Ⅰ）若16a，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第6页恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第7页恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第8页恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第9页恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第10页恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第11页恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第12页恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第13页恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第14页恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司第15页