弧微分与曲率

第三章微分中值定理与导数的应用高等数学第六节弧微分与曲率怎样描述曲线局部弯曲程度？1M3M22M2S1SMM1S2SNN弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分有不同的弯曲程度；一弧微分NTA0xMxxx.),()(内具有连续导数在区间设函数baxfxyo.),(:00作为度量弧长的基点在曲线上取点yxA),,(yxM对于曲线上任意一点规定：;)1(增大的方向曲线的正向为x,)2(sAM.,,,取负号相反时取正号一致时的方向与曲线正向当ssAM)(xss易看出：弧长是x的单调增函数.)(xss下面求的导数与微分,),(上的另一点为曲线设yyxxNMNsNMTA0xxxxxyo22xMNxs22xMNMNMN2222)()(xyxMNMN222)(1xyMNMN222)(1xyMNMNxsMNx,0时当.12dxyds故,)(为单调增函数xss.12dxyds故弧微分公式NMTA0xxxxxyo1lim2MNMNMNyxyx0lim弧微分公式设xxx为(ab)内两个邻近的点它们在曲线yf(x)上的对应点为MN并设对应于x的增量x弧s的增量为s.因为当x0时s~MN又x与s同号所以由此得弧微分公式:202200)(1lim||)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx21ydxyds21202200)(1lim||)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx202200)(1lim||)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx或者22)(d)(ddyxs曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．MM1S2SNN弯曲程度越大转角越大转角相同弧段短的弯曲大1、曲率的定义1M3M22M2S1S1二、曲率及其计算公式问题:怎样刻画曲线的弯曲程度？提示：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.2、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为,s对应切线,定义弧段上的平均曲率ssK点M处的曲率sKs0limsdd注:直线上任意点处的曲率为0!转角为例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,RssKs0limR1可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.sRMM有曲率近似计算公式,1时当yytan)22(设yarctan得xyd)arctan(d故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyKyK又曲率K的计算公式)(xfy二阶可导,设曲线弧则由,),(),(二阶可导设tytx.)]()([)()()()(2322ttttttk,)()(ttdxdy.)()()()()(322tttttdxyd注:参数方程下曲率的计算23)1(2yyK例2计算等边双曲线xy1在点(1,1)处的曲率.曲线在点(11)处的曲率为因此y|x11y|x12解由xy1得21xy32xy232)1(||yyK232))1(1(22221解21xy32xy232)1(||yyK232))1(1(22221232)1(||yyK232))1(1(2222123)1(2yyK例3抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？解由yax2bxc得y2axby2a代入曲率公式得显然当2axb0时曲率最大因此抛物线在顶点处的曲率最大此处K|2a|232])2(1[|2|baxaK曲率最大时xab2对应的点为抛物线的顶点23)1(2yyK例4.求椭圆在t=0处的曲率.解:故曲率为ba23)cossin(2222tbta;sinta;costbtacostbsin)(t)(t)(t)(t2322)]()([)()()()(ttttttK在t=0处,即在点(a,0)的曲率为2baK思考:上面的椭圆在何处曲率最大?三、曲率圆与曲率半径TyxoR),(yxMC设M为曲线C上任一点,在点在曲线KRDM1把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数..1,1kk即注:2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).例6.求抛物线上任一点处的曲率和曲率半径.2xy解：.2,2yxymaxmin1(0,0),2,.2K在点(||),x自原点逐渐上升增大,)41(22/32xK2xy随着曲线.2)41(12/32xK.逐渐增大逐渐减小，KxyO1O2O2yxA,41)0()0(2min2020yx故处又在,2,0,)0,0(yy法线：x=0.切线：y=0,000(,),0,xyx而圆心在法线上故.41)21(22yx点处的曲率圆方程：在于是)0,0(,2xy).21(2100yy舍求的最小曲率半径时的曲率圆的方程.2yx则设曲率圆圆心),,(00yx例7设工件表面的截线为抛物线y0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径抛物线顶点处的曲率半径为r=K-11.25因此,选用砂轮的半径不得超过1.25单位长即直径不得超过2.50单位长y0.8xy0.8y|x00y|x00.8把它们代入曲率公式得232)1(||yyK08例9xyoQP.,.70,/400,)(40002压力飞行员对座椅的到原点时求俯冲千克飞行员体重秒米处速度为点在原俯冲飞行单位为米飞机沿抛物线vOxy解如图,受力分析,PQF视飞行员在点o作匀速圆周运动,.2mvFO点处抛物线轨道的曲率半径002000xxxy,0.200010xy得曲率为.200010xxk曲率半径为.2000米2000400702F),(4.571)(5600千克牛),(4.571)(70千克力千克力Q).(5.641千克力即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述——曲率;曲线弧的近似代替曲率圆(弧).四、小结内容小结1.弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2.曲率公式sKdd23)1(2yy3.曲率圆曲率半径KR1yy23)1(2232])(1[||yyk2322)cos9sin4(6tt232)cos54(6t要使最大，k232)cos54(t必有最小，23,2t此时最大，k附1椭圆上哪些点处曲率最大？,cos2txtysin3解,()1.RR火车转弯时,为使火车能平稳地转过弯去必须将外轨垫高.铁轨由直道转入圆弧弯道时设半径为,外轨的弯曲有一个跳跃,会导致接头处的曲率突然改变,容易发生事故.为了行驶平稳,往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段,使曲率连续地由零过渡到附2.铁道的弯道分析.1)1(,],0[6103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似为时，在终端很小并且当为零的曲率在始端的长度，验证缓冲段为，其中缓冲段．作为，通常用三次抛物线xyoR),(00yxA)0,(0xClBxyoR),(00yxA)0,(0xC证明:如图0x表示直线轨道，,.OAAB是缓冲段是圆弧轨道在缓冲段上,,212xRly.1xRly,0,0,0yyx处在.00k故缓冲始点的曲率根据实际要求,0xllB20210xRlyxx有221lRl,2Rl010xRlyxxlRl1,1R的曲率为故在终端A0232)1(xxAyyk2322)41(1RlR,1Rl.1RkA得,422Rl略去二次项xyoR),(00yxA)0,(0xClB