用法向量求二面角的大小

教材106页例2：求二面角α-l-β的余弦值。教材109页例4:求二面角C-PB-D的大小。改编教材109页例4如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA||平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;用法向量求二面角的大小成都七中高新校区康盛两半平面的法向量与二面角有怎样的关系？根据上图，分小组进行讨论---“两法向量的夹角与二面角的关系.”两法向量的夹角与二面角的关系θ=π-φ互补θ=φ相等如何判别互补还是相等？根据教材109页例4改编如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA||平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;解:建立如图空间直角坐标系，A(2,0,0),C(0,2,0)B(2,2,0),E(0,1,1)易得平面BDF的法向量设平面BDE的法向量根据观察，二面角为锐二面角，故二面角F-BD-E的余弦值为.(2,2,0)AC(,,)nxyz0(1,1,1)220nDEyznnDBxy6cos,3||||ACnACnACn63判断互补还是相等的简单的方法是：观察二面角的大小来判定.练习题1如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=4,AB=2,点E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;练习题1如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;解:建立如图空间直角坐标系，D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)平面BDE的法向量平面A1DE的法向量根据观察，二面角为………。1(1,-1,2)n2(4,1,2)n12121214cos,-42||||nnnnnn齐相国老师刊登在《数学通讯》2009年第4期的《法向量求二面角时法向量方向的判定方法》。李峰老师发表在《数学通讯》2010年第9期的《对“法向量求二面角时法向量方向的判定方法”一文的改进》规定:如图,分别在半平面α，β内各取一点M,N(不在棱上取),我们称(与法向量不共线)为内部向量。MN内部向量MN判定法10MNn10MNn异号互补同号相等内部向量MN判定法20MNn20MNn10MNn20MNn10MNn20MNn练习题1如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;解:建立如图空间直角坐标系，D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)求得平面BDE的法向量，平面A1DE的法向量取内部向量故二面角A1-DE-B的余弦值为.1(1,-1,2)n2(4,1,2)n12121214cos,-42||||nnnnnn1(0,2,4)AB1112-100,100ABnABn14421、建立空间直角坐标系，写出点的坐标。用法向量求二面角的大小的一般步骤:2、求出两半平面的法向量，并求出其夹角。3、用观察法，确定二面角的大小。或取内部向量（同号相等，异号互补），判定二面角的大小。4、下结论。练习题2如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1,AB=BC=2,求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;练习题2如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1,AB=BC=2,求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;解:建立如图空间直角坐标系，A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,1)易知平面SAB的法向量，求出平面SDC的法向量取内部向量故二面角的余弦值为.(1,0,0)AD(2,1,2)n2cos,3||||ADnADnADn(1,2,0)BD10,40BDADBDn23课堂小结1、弄清楚两法向量的夹角与二面角的关系。2、利用内部向量判定二面角的大小。5、分析、归纳问题的能力。4、感知空间中点、线、面在运动过程中的位置关系的变化，及空间想象能力的培养。3、用法向量求二面角大小的一般步骤。课后作业教材112页，A组第6题.B组第2，3题.