薛定谔方程

1第二十七章薛定谔方程量子围栏2§27.1薛定谔方程§27.2无限深方势阱中的粒子§27.3势垒穿透§27.4一维谐振子*§27.5力学量算符第二十七章薛定谔方程3§27.1薛定谔方程1926年的一次学术讨论会上，年轻的薛定谔介绍了德布罗意的关于物质波假说的论文，物理学家德拜（P.Debey）评论说：“对于波应该有个波动方程。”几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋地说：你们要的波动方程我找到了！这就是著名的薛定谔方程。4薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位。同牛顿方程一样，薛定谔方程不能由其它的基本原理推导得到，是量子力学的一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。5一.薛定谔方程（1926）),(),(2),(222txΨtxUxmtxΨti),(222ΨtrUmtΨim—粒子的质量U—粒子在外力场中的势能函数2—拉普拉斯算符2222222zyx1维：6▲薛定谔方程是线性偏微分方程，其解满足态叠加原理。▲薛定谔方程关于时间是一阶的，不同于经典波动方程关于时间是二阶的。▲薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”，是非相对论形式的方程。若和是方程的解，),(1trΨ),(2trΨ则也是方程的解。),(),(2211trΨctrΨc▲方程含有虚数i，其解是复函数，不可测量，是概率密度，可测量。Ψ2||Ψ7二.哈密顿量),(2ˆ22trUmH若U不显含时间，则H称为能量算符。ˆΨHtΨi用哈密顿量，薛定谔方程可写成势函数U不显含时间的情况很重要。—哈密顿算符这时薛定谔方程可通过分离变量求解。8经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒子上的力。只讨论势函数U与时间无关的情况。),(2ˆ22trUmH量子力学中，哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演化，即决定了粒子的运动状态。外界对粒子的作用，包括不能用力来表达的微观相互作用，一般都可以用哈密顿量中的势函数来概括。),(trU9)()](ˆ[)(d)(dtTrΦHrΦttTi)()(),(tTrΦtrΨ如果势函数U不显含t，则可设：代入薛定谔方程得：上式可分为下面两个方程：三.定态薛定谔方程—能量本征方程=E（常数）令两边除以得：)()(tTrΦ)(ˆ)(1)(1d)(drΦHrΦtTttTi10方程(1)的解：EtiCetT)(方程(2)就是定态薛定谔方程：E具有能量量纲，C可以是复数。)()()(222rEΦrΦrUm（振动因子）—能量本征方程(1))(d)(dtETttTi(2))()(ˆrEΦrΦH11数学上：E不论取何值，方程都有解。物理上：E只有取某些特定值，方程的解才能满足波函数条件：单值、有限、连续。▲满足方程的特定的E值称为能量本征值。)()()(222rEΦrΦrUm▲E称为与E对应的本征波函数。物理含义：若粒子处于E态，则粒子的能量为E。12为讨论方便，设E取分立值（分立谱）：{En，n=1,2,3,…}相应的本征波函数为{n，n=1,2,3,…}▲定态：能量取确定值的状态，是薛定谔方程的特解：)(),(EtiEEerΦtrΨ对不同的势函数和能量区间，能量本征值E可能取分立的值，也可能取连续值。▲薛定谔方程的通解与定态解的关系13薛定谔方程的通解是各定态解的线性叠加：)(),(),(tEinnnnnnnexΦCtxΨCtxΨ对分立谱，薛定谔方程的一系列定态解为：...,3,2,1,)(),(nexΦtxΨtEinnn（Cn是任意复常数）14在很多问题中势函数不显含时间，薛定谔方程的求解可通过解能量本征方程—定态薛定谔方程来解决。因此，能量本征方程的求解，在量子力学中占有重要地位。)()()(dd2222xEΦxΦxUxm一维定态薛定谔方程：定态薛定谔方程的意义15▲本征值问题：给定势能函数U(x)，求粒子的能量E和相应的本征波函数n(x)。后面通过求解一维定态薛定谔方程来讨论两类问题：▲散射问题：粒子的能量E确定，射向势垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。0)()(2)(2xΦxUEmxΦ一维定态薛定谔方程常用形式：16薛定谔（18871961）ErwinSchrodinger•奥地利人•1933年诺贝尔物理学奖获得者•量子力学的创立17一.一维无限深方势阱模型极限理想化U(x)U=U0U=U0EU=0x0§27.2无限深方势阱中的粒子表面电子运动限于区间aa金属无限深方势阱U=0EUU(x)x0U-a/2a/218二.定态解01Φ)(xU0)(xU02dd22222ΦmExΦ0)()(2)(2xΦxUEmxΦ|x|a/2区间：|x|a/2区间：无限深方势阱U=0EUU(x)x0U-a/2a/219（先设E0，后面解释）0dd22222ΦkxΦ222kmE令通解：)sin()(2kxAxΦ利用下面的条件（不一定全用）：波函数条件：单值、有限、连续；波函数满足的物理条件。确定常数A、，进而定出能量本征值和波函数，是求解定态的常规手法。20连续条件：0)2/()2/(12aΦaΦπ2/π,2/21lkalka（l1和l2是整数）π)(221ll0)2/sin(,0)2/sin(kaAkaA整个波函数应在势阱边界处连续0)2/()2/(12aΦaΦ令πl2πl（l是整数）21kxAΦsino2kxAΦcose21.能量本征值l=0时，=0，l=1时，=/2，l为其它整数值时，解的形式重复（可差正负号，但不影响||2），舍去。—奇函数—偶函数从能量意义看应有E0，但E=0可能吗？当粒子运动范围受到限制时（在势阱中），根据不确定关系，动量的不确定度p0，所以动量p002mEkE022合并一起有：...321π,，，，nnka...)3,2,1,(2π2222nnmaEn...642π,，，，nnka...531π,，，，nnka)00(nk由0)2/sin()2/(o2kaAaΦ得：0)2/cos()2/(e2kaAaΦ由得：222kmE代入到得：23结论：束缚在势阱中的粒子的能量只能取分立值En—能量量子化，每个能量值对应一个能级，En称为能量本征值，n称为量子数。最低能量—零点能02π2221maE零点能是量子力学特有结果，经典力学中没有。根源是波粒二象性，不确定关系。能级间隔222211)12(2πΔmanmaEEEnnn24nnnnEEnnn1212Δ12nEmaΔ或nnEEnΔ宏观或大量子数情形，可认为能量连续。2.波长nnnhmEpmEp22由能量、动量关系和德布罗意关系有：25nan2上式表明，无限深势阱中的德布罗意波具有驻波形式（势阱边界为波节）。每一个能量的本征态，对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。由于势阱中德布罗意波只有取驻波形式才稳定，所以也可以反过来说：势阱中的能量量子化是德布罗意波形成驻波的必然结果。263.能量本征函数xanAkxAΦπsinsino2nΦxanAkxAΦee2πcoscos...)642(，，，n归一化条件：xΦaand||12/2/2oaA2nΦo22/2/222dπsinAaxanAaa...)531(，，，n27能量本征函数定态波函数和能量本征态tEinnnexΦtxΨ)(),(考虑振动因子有2ax2ax0Φ概率密度22|)(||),(|xΦtxΨnnxanaΦnsin2oxanaΦncos2e驻波解...)642(，，，n...)531(，，，n28束缚态E1E2E3E4En势阱内粒子概率分布与经典情况不同0x-a/2a/2n,3nn,4n,2n,1na21a2323a24anan2|n|229n很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀量子经典玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系行为趋于与经典一致。En|n|2-a/2a/230§27.3势垒穿透一.粒子进入势垒)0(,)0(,0)(0xUxxU金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。势垒的物理模型：xII区0I区U0U(x)1.一维势垒模型31粒子从x=-处以特定能量E(EU0)入射，xII区0I区U0U(x)2.问题经典图像：量子图像：粒子无法跃上台阶，只能反射。粒子具有波动性，波不仅被反射，而且能透射进入势垒区，只要U0有限。能进来吗？能进来！E入射反射透射323.定态薛定谔方程I区（x0）：0221mEk令II区（x0）：xII区0I区EU0U(x)0)()(22202kUEmik令有0)(dd222222ikx0dd121212kx有0)()(2)(2xΦxUEmxΦ33xEUmCe)(210xikxikBeAex11)(1xkCex2)(2入射波反射波透射波4.通解当x时，2(x)应有限，D=0。xikxikBeAex11)(1xkxkDeCex22)(2EU02透射1入射+反射xII区I区0（波动型解）（指数型解）34在势垒区粒子出现概率0！5.势垒区的概率密度)(22220)(EUmxex势垒增高(U0)或透入深度增加(x)透入的概率下降经典：粒子不能进入EU区域（动能0）量子：粒子有一定的概率进入势垒区物理现象：电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气。35二.有限宽势垒和隧道效应xmEiSex23)(E120aU0xI区II区III区3波可以穿过有限宽势垒，以平面波形式继续前进，称为势垒穿透或隧道效应。隧道效应361.穿透系数T—透过势垒的概率穿透系数~0，此时隧道效应在实际上没有意义，量子概念过渡到了经典。当U0E=5eV，垒宽a~50nm以上时，)(2220||EUmaeST])(2[sh)1(11||02200EUmaSUEUE)1)(2(0EUma垒宽a或(U0E)T37经典物理：量子物理：mpE22mppmppEΔ2Δ2Δ若x=a很小，p和E就很大，2.怎样理解粒子穿过势垒区?从而粒子能量的不确定量E0：E+EU0，粒子穿过势垒和能量守恒不矛盾。区宽度a不是无限大，根据不确定关系就有从能量守恒角度看是不可能的。在势垒区，位置不确定度x=a，只要势垒p0，粒子就有一定概率穿过势垒。以至有38量子经典39三.隧道效应的应用隧道二极管，金属场致发射，核的衰变…1.核的衰变238U234Th+4He粒子通过隧道效应克服势垒从核出来。对不同的核，算出的衰变概率和实验一致。rRU35MeV4.25MeV0核力势能库仑势能E=4.25MeV401986年诺贝尔物理学奖，宾尼、罗赫尔发明STM，鲁斯卡发明电镜2.扫描隧道显微镜（STM）应用：观测物质表面的微观结构原理：利用量子隧道效应罗赫尔（Rohrer）鲁斯卡（E.Ruska）宾尼（G.Binning）41U0U0U0dCUeiC—常量—样品表面平均势垒高度（~eV）d～1nm（10Å）d变i变，反映表面情况ABdE隧道电流iABUd探针样品电子云重叠42隧道电流i，对针尖和样品表面之间的距离d非常敏感。用金属探针在样品表面扫描，通过隧道电流的变化就能记录下样品表面的微观形貌