4.1 一阶逻辑命题符号化new

1第四章一阶逻辑的基本概念24.1一阶逻辑命题符号化在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命题符号化的三个基本要素。3个体词是独立存在的客体，可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念例如：小王、玫瑰花、黑板、自然数、3、思想、定理等都可以作为个体词。个体词个体常项：表示具体的或特定的个体的词用小写的英文字母a，b，c…表示个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词用小写的英文字母x，y，z…表示4个体域（也称论域）：个体变项的取值范围个体域可以是有限事物的集合，如{1,2,3}、{a,b,c}、{中华人民共和国所有公民}等也可以是无限事物的集合，如整数集合、实数集合等。特别的，当无特殊声明时，将宇宙间的一切事物的集合作为个体域，称为全总个体域。个体词5谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词语。例如：指出下面四个陈述中的个体词和谓词（1）π是无理数。（2）王明是程序员。（3）小王与小李同岁。（4）x与y具有关系L。个体词：“π”，“王明”，“小王”，“小李”，“x”，“y”谓词：“…是无理数”，“…是程序员”“…与…同岁”，“…与…具有关系L”谓词个体词的性质个体词之间关系6谓词的分类（1）谓词常项：表示具体性质或关系的谓词用大写英文字母F，G，H，…表示例如：“…是无理数”，“…是程序员”，“…与…同岁”是谓词常项，可以用F表示“…是无理数”，G表示“…是程序员”，H表示“…与…同岁”（2）谓词变项：表示抽象的或泛指的谓词也用大写英文字母F，G，H，…表示，F，G，H，…表示的是谓词常项还是谓词变项要根据上下文而定例如：“…与…具有关系L”是谓词变项7谓词应符号化成个体词和谓词的联合体的形式如F（a）、F（x）、F（a，b）、F（x，y）等F（a）表示个体常项a具有性质F；F（x）表示个体变项x具有性质F；F（a，b）表示个体常项a，b具有关系F；F（x，y）表示个体变项x，y具有关系F。例：（1）π是无理数。（2）小王与小李同岁。令F（x）：x是无理数H（x，y）：x与y同岁8谓词的元一个谓词中所包含的个体变项的数目称为该谓词的元数。含有n（n≥1）个体变项的谓词称为n元谓词。常用P(x1，x2，…，xn)表示n元谓词。一元谓词通常表示个体变项具有性质P；n（n≥2）元谓词通常表示个体变项之间具有关系P。不带个体变项的谓词称为0元谓词。例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an）都是0元谓词。9解：（1）令F（x）：x是素数，a：2，b：4则命题符号化为：F（b）→F（a）（2）令G（x，y）：x大于y。a：4，b：5，c：6则命题符号化为：G（b，a）→G（a，c）例将下面命题用0元谓词符号化。（1）只有2是素数，4才是素数（2）如果5大于4，则4大于6命题的谓词符号化步骤：（a）找出谓词、个体词常项（b）符号化谓词和个体词常项（c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符对命题符号化10有些命题除了个体词和谓词之外，还有表示数量的词。例如：（1）所有的人都呼吸。（2）有的人用左手写字。11量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。量词分为两种：（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，“任意的”，“每一个”等等，用符号“”表示。用x表示对个体域里的所有个体，xF(x)表示个体域里的所有个体都有性质F。xyG(x,y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。量词（2）存在量词：对应日常语言中的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词，用符号“”表示。用x表示个体域里有的个体，xF(x)表示个体域里存在个体具有性质F。xyG(x,y)表示个体域里存在两个个体具有关系G。12例在个体分别限制为（a）和（b）条件时，将下面两个命题符号化：（1）所有的人都呼吸。（2）有的人用左手写字。其中：（a）个体域D1为人类集合（b）个体域D2为全总个体域解：（a）个体域为人类集合令F（x）：x呼吸；G（x）：x用左手写字（1）命题符号化为：xF（x）（2）命题符号化为：xG（x）个体词“人”需不需要进行符号化？13（b）现在假设个体域D2是全总个体域这时，xF（x）和xG（x）不能表示原命题的意义了，因为（1）所有的人都呼吸。所有的个体都呼吸。（2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。所以个体域是全总个体域时，命题应转述为：（1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事物区分开来令M（x）：x是人。使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为：（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。（1）x（M（x）→F（x））（2）x（M（x）∧G（x））14例在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题符号化：（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2)（2）存在数x，使得x+5=3其中：（a）个体域D1=N（自然数集合）（b）个体域D2=R（实数集合）解：令F(x):x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x):x+5=3命题（1）的符号化均为：xF（x）命题（2）的符号化均为：xG（x）个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题在个体域限制为（a）和（b）条件时个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题15使用量词时的注意点（1）在不同的个体域中，命题符号化的形式可能一样，也可能不一样（2）在引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词符号化的形式是不同的（3）同一个命题，在不同的个体域中的真值可能不一样（4）如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体域16例将下列命题符号化。（1）所有的人都长着黑头发。（2）有的人登上过月球。（3）没有人登上木星。（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域令M（x）：x为人（1）令F（x）：x长着黑头发可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人，那么它就长着黑头发。命题符号化为：x（M（x）→F（x））17（2）有的人登上过月球。令G（x）：x登上过月球可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过月球。命题符号化为：x（M（x）∧G（x））（3）没有人登上木星。令H（x）：x登上过木星命题可看成：“有人登上木星”的否定。命题符号化为：┐x（M（x）∧H（x））命题也可看成：所有人都没登上木星命题符号化为：x（M（x）→┐H（x））18（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲人”。令F（x）：x是在美国留学的学生；G（x）：x是亚洲人命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x））或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚洲人”的否定。命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））1920例使用多元谓词将下列命题符号化。（1）兔子比乌龟跑得快。（2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。（3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。（4）不存在跑的同样快的两只兔子。解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域令F（x）：x是兔子；G（y）：y是乌龟；H（x，y）：x比y跑的快；L（x，y）：x和y跑得同样快（1）兔子比乌龟跑得快。可将命题转述为：对于任意的两个个体x和y，如果x是兔子，并且y是乌龟，那么x比y跑得快。命题可以符号化为：xy（F（x）∧G（y）→H（x，y））21（2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。可将命题转述为：存在着个体x，x是兔子，并且对于所有的个体y，如果y是乌龟，那么x比y跑得快。命题可以符号化为：x（F（x）∧y（G（y）→H（x，y）））可以写成：xy（F（x）∧(G（y）→H（x，y）)）（3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。命题可看成“兔子比乌龟跑得快”的否定命题可以符号化为：┐xy（F（x）∧G（y）→H（x，y））命题也可看成“存在着兔子和乌龟，兔子跑得不比乌龟快”则命题可转述为：存在两个个体x和y，x是兔子，y是乌龟，并且x跑得不比y快。则命题也可以符号化为：xy（F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））22（4）不存在跑的同样快的两只兔子。命题可看成“存在跑的同样快的两只兔子”的否定命题可以符号化为：┐xy（F（x）∧F（y）∧L（x，y））命题也可看成“任意的两只兔子跑的不一样快”命题也可以符号化为：xy（F（x）∧F（y）→┐L（x，y））23使用多元谓词符号化命题时的注意点：（1）使用n元谓词符号化命题需要n个量词。（2）有些命题的符号化形式可以不止一种。（3）多个量词同时出现，不能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变命题的含义。例如：考虑个体域为实数集，H（x，y）表示“x+y=10”。则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符号化为：xyH（x，y），命题为真命题。颠倒顺序后，得yxH（x，y），这表示“存在y，对任意的x有x+y=10”，显然是假命题。24思考：符号化命题：张三的父亲是校长。解一：令F(x)：x是校长，a：张三的父亲命题符号化为F(a)解三：令F(x)：x是校长，G(x,y)：x是y的父亲M(x)：x是人，a：张三命题符号化为x(M(x)∧G(x,a)∧F(x))解四：设F(x):x是校长，f(x):x的父亲，a：张三命题符号化为：F(f(a)))谓词是一个完整的句子；函数则是一个短语解二：令F(x)：x的父亲是校长，a：张三命题符号化为F(a)25例：符号化下列命题。（1）所有实数的平方是非负的。（2）对于任意的实数x与y，总存在实数z，使得x+y=z。解：（1）设F(x):x是实数，f(x):x的平方，G(x):x非负命题符号化为：x(F(x)→G(f(x)))（2）设F(x):x是实数，G(x,y,z):x+y=z命题符号化为：xy(F(x)∧F(y)→z(F(z)∧G(x,y,z)))或设F(x):x是实数，f(x,y):x+y，H(x,y):x=y命题符号化为：xy(F(x)∧F(y)→z(F(z)∧H(f(x,y),z)))