3.3 二阶线性常系数齐次差分方程及其应用

第3章差分方程模型3.3节二阶线性常系数齐次差分方程及其应用3.3.1二阶线性常系数齐次差分方程二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为21,0,1,2,kkkxaxbxk(3.3.1)其中a和b为常数，b≠0.为了讨论方便，还假设240ab.如果等比数列{}k(λ≠0)是(3.3.1)式的解，则λ必满足一元二次方程20ab(3.3.2)(3.3.2)式及其根分别称为(3.3.1)式的特征方程和特征根.因为240ab，所以(3.3.2)式有两个互异的根1和2；又因为b≠0，所以10且20.3.3.1二阶线性常系数齐次差分方程(3.3.1)式的一般解为1122,0,1,2,kkkxcck,其中1c和2c为任意实数.给定初始值0x和1x以后，从代数方程组01211122xccxcc可以唯一的确定常数1c和2c，使数列{}kx是(3.3.1)式在给定初始值0x和1x之后的唯一解.如果a+b≠1，则(3.3.1)式有且仅有平衡点x=0.当11且21时，平衡点x=0是渐进稳定的.3.3.2斐波那契数列问题在一年之初把一对一雌一雄新生的兔子放入围栏，从第二个月开始，母兔每月生出一对一雌一雄的小兔；每对新生的兔子也从它们第二个月大开始，每月生出一对一雌一雄的小兔.求一年后围栏内有多少对兔子？3.3.2斐波那契数列解答令nf表示在第n月开始时围栏内的兔子对数，则nf满足二阶差分方程21nnnfff(3.3.3)以及初始条件010,1ff(3.3.4)容易计算出：2f=1，3f=2，4f=3，5f=5，6f=8，7f=13，8f=21，9f=34，10f=55，11f=89，12f=144，13f=233……也就是说，在第二年初，围栏内共有233对兔子.3.3.2斐波那契数列下面求(3.3.3)式的一般解和满足(3.3.4)式的特解.(3.3.3)式的特征方程为210，其特征根为1,2152，因此(3.3.3)式的一般解为12151522nnnfcc其中1c和2c是任意常数.3.3.2斐波那契数列为了满足初始条件(3.3.4)式，必须有121201515122cccc解得1,215c，于是(3.3.3)式满足初始条件(3.3.4)式的特解为1151152255nnnf.因为11.6181，20.6181，所以limnnf，平衡点0不稳定.3.3.3市场经济中的蛛网模型（一）问题提出在市场上常见这样的现象：一段时期猪肉供过于求，销售不畅致使价格下跌，生产者发现养猪赔钱，转而经营其它农副业；过一段时间猪肉上市量大减，供不应求，价格上涨，生产者看到有利可图又重操旧业.这样下一个时期又会重现供过于求，价格下跌，如果没有外来干预，这种现象将如此循环下去.3.3.3市场经济中的蛛网模型（二）问题分析商品在市场上的数量和价格出现反复的振荡，是由消费者的需求关系和生产者的供应关系决定的.一方面，这一时期的价格取决于上市量，上市量越多价格越低；另一方面，下一时期的上市量又取决于这一时期的价格，价格越低上市量越少.进一步观察还发现上市量和价格的振荡有两种完全不同的形式，一种是振幅逐渐减小趋向平衡，另一种是振幅越来越大，如果没有外界干预，将导致经济崩溃.3.3.3市场经济中的蛛网模型（三）模型一（蛛网模型）把时间离散成时段，一个时段相当于一个生产周期，记商品在第k时段的上市量为kx，价格为ky.按照经济规律，价格ky取决于上市量kx，记作()kkyfxf反映消费者的需求关系，称为需求函数，其函数图象是一条下降曲线，称为需求曲线，因为上市量越大，价格就越低.3.3.3市场经济中的蛛网模型（三）模型一（蛛网模型）下一时段的上市量1kx由上一时段的价格ky决定，记作1()kkxhy，或记作1()kkygx其中g是h的反函数，反映生产者的供应关系，称为供应函数，其函数图象是一条上升曲线，称为供应曲线，因为价格越高，生产量（下一时期的上市量）就越大.3.3.3市场经济中的蛛网模型（三）模型一（蛛网模型）在x~y直角坐标系画出需求曲线和供应曲线，两条曲线相交于点000(,)Pxy，称为平衡点.一旦第k时段的上市量0kxx，则0kyy，10kxx，10kyy……即以后的上市量和价格永远保持在平衡点0P.但是实际上由于种种干扰使得上市量和价格不可能保持在0P，不妨设1x偏离0x，利用需求曲线和供应曲线分析kx和ky的变化趋势，可发现0P有渐进稳定或不渐进稳定两种情况.此图形模型称为蛛网模型.图3.4蛛网模型示意图3.3.3市场经济中的蛛网模型（三）模型一（蛛网模型）由图3.4可以找出平衡点稳定的条件.平衡点0P是否稳定由需求曲线f和供应曲线g在0P附近的形状决定.用fK和gK分别记曲线f和g在0P的斜率的绝对值，则当fgKK时0P稳定，当fgKK时0P不稳定.3.3.3市场经济中的蛛网模型（四）模型二（差分方程模型）在0P附近用直线近似需求曲线和供应曲线，于是需求函数f在0P附近可以用一次函数近似表示为00,(0,1,2,)kkyyxxk(3.3.5)而供应函数g在0P附近也可以用一次函数近似表示为100,(0,1,2,)kkxxyyk(3.3.6)联立(3.3.5)式与(3.3.6)式，得到差分方程组10000,1,2,kkkkxxyykyyxx(3.3.7)3.3.3市场经济中的蛛网模型（四）模型二（差分方程模型）从(3.3.7)式中消去0()kyy，可得100,1,2,kkxxxxk(3.3.8)(3.3.8)式是一阶线性常系数差分方程.给定初始值1x，(3.3.8)式的解为1010,2,3,kkxxxxk(3.3.9)将(3.3.9)式代入(3.3.7)式，解得1010,2,3,kkkyyxxk(3.3.10)(3.3.9)和(3.3.10)式合起来给出了(3.3.7)式的解.3.3.3市场经济中的蛛网模型（四）模型二（差分方程模型）在(3.3.7)式中，令1kkxxx，kyy，可求得平衡点.由于α0，β0，所以(3.3.7)式有且仅有平衡点00(,)xy，即蛛网模型的平衡点0P.由于α0，β0，所以：当αβ1时，平衡点0P渐进稳定；当αβ1时，平衡点0P不稳定.由于fK，1gK，所以差分方程模型的结果与蛛网模型完全一致.3.3.3市场经济中的蛛网模型（六）模型改进如果生产经营者的管理水平较高，在决定产量2kx时，不仅根据价格1ky，而且考虑前一阶段的价格ky.简单的设2kx由1ky与ky的平均值决定，则建立差分方程组模型：0012002kkkkkyyxxyyxxy(3.3.11)其中α0，β0，1,2,k.3.3.3市场经济中的蛛网模型（六）模型改进从(3.3.11)式中消去1ky与ky，得2010020kkkxxxxxx引入变量替换10kkzxx，得2120,0,1,2,kkkzzzk其特征方程为220(3.3.12)特征根为21,284(3.3.13)3.3.3市场经济中的蛛网模型（六）模型改进在(3.3.11)式中，令2kkxxx，1kkyyy，由于α0，β0，所以(3.3.11)式只有平衡点0P00(,)xy.在(3.3.13)式中，如果αβ8（参数α和β的实际值一般都满足这个条件），则特征根1,2是一对共轭复数.根据韦达定理和(3.3.12)式，有122，所以1,2122于是平衡点0P渐进稳定当且仅当αβ2.与之前的稳定条件αβ1相比，范围放大了，对经济稳定更有利.3.3.4一年生植物的繁殖（一）问题提出一年生植物春季发芽，夏季开花，秋季产种，有一部分种子可以活过冬天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、产种，剩下的种子虽然未发芽，但如果又能活过第二年冬天，则其中的一部分还能在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续.一年生植物只能活一年，假设种子最多能活过两个冬天，建立数学模型研究该植物的数量变化规律，及它能一直繁殖下去的条件.3.3.4一年生植物的繁殖（三）模型建立和求解先引入以下符号：kx～该一年生植物在第k年的数量；c～每棵植物秋季产种的平均数，c0；1a～一岁的种子能在春季发芽的比例，101a；2a～两岁的种子能在春季发芽的比例，201a；0b～零岁的种子能活过冬天的比例，001b；1b～一岁的种子能活过冬天的比例，101b；b～种子能活过一个冬天的比例，0b1.3.3.4一年生植物的繁殖（三）模型建立和求解模型假设：（1）假设12aa；（2）假设01bbb；（3）假设1a、2a、b和c均为常数.根据模型假设，列式得：110xabcx(3.3.14)11212(1),2,3,kkkxabcxababcxk(3.3.15)令1pabc(3.3.16)221(1)qaabc(3.3.17)则p0，q0，均为常数，并且(3.3.14)式和(3.3.15)式可以改写为10xpx(3.3.18)12,2,3,kkkxpxqxk(3.3.19)3.3.4一年生植物的繁殖（三）模型建立和求解(3.3.18)式给出初始值0x和1x之间的递推关系.(3.3.19)式为二阶线性常系数齐次差分方程，特征方程为20pq，特征根为1,2()2p，其中24pq(3.3.20)因为p0，q0，所以120.在给定初始值0x、并由(3.3.18)式确定1x之后，可以求得(3.3.19)式的解为11012,0,1,2,kkkxxk(3.3.21)3.3.4一年生植物的繁殖（三）模型建立和求解考察极限limkkx可找到一年生植物能一直繁殖下去的条件.因为00x，0，120，所以：（1）lim0kkx当且仅当11，即2p；（2）0limkkxx当且仅当11，即2p；（3）limkkx当且仅当11，即2p.可见一年生植物能一直繁殖下去的充分必要条件是2p(3.3.22)3.3.4一年生植物的繁殖（三）模型建立和求解把(3.3.16)、(3.3.17)和(3.3.20)式代入(3.3.22)式，得：2212114(1)2acaacacb(3.3.23)(3.3.23)式启发我们，为了简便，可以设1a、2a和c固定，而b可在区间(0,1)范围内变化.记22121124(1)bacaacac(3.3.24)则一年生植物能一直繁殖下去的充分必要条件是1bb3.3.4一年生植物的繁殖（四）数值实验取1a=0.5，2a=0.25，c=10，由(3.3.24)式计算临界值b，然后取0x=100，分别在bb、bb和bb三种不同情况下（使b与b之间只有微小的误差），用循环语句计算一年生植物的数量在20年内的演变过程，将结果列表，并绘图.MATLAB程序：a1=0.5;a2=0.25;c=10;bs=2/(sqrt((a1*c)^2+4*a2*(1-a1)*c)+a1*c)%临界值b=bs+bs.*[.01,0,-.01]p=a1.*c.*b;q=a2.*(1-a1).*c.*b.