3.3 线性方程组的消元解法

上页下页铃结束返回首页§3.3线性方程组的解一、线性方程组的矩阵表示上页下页返回首页二、线性方程组解的情况判定结束铃上页下页铃结束返回首页下页n元线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中A、x、b分别称为方程组的系数矩阵、n元未知列向量、常数项列向量。a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+b=。b1b2bmA=，a11a21am1a12a22am2a1na2namnx=，x1x2xn一、线性方程组的矩阵表示：上页下页铃结束返回首页称为线性方程组的增广矩阵。矩阵下页(Ab)=a11a21am1a12a22am2a1na2namnb1b2bmn元线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+一、线性方程组的矩阵表示：上页下页铃结束返回首页方程组Ax=o称为n元齐次线性方程组，Ax=b(bo)称为n元非齐次线性方程组。首页问答练习n元线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+一、线性方程组的矩阵表示：上页下页铃结束返回首页-00000210004001070001定义：若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：（1）非零行的首非零元为1；（2）首非零元所在列的其它元全为0。则称A为行最简形矩阵。例如：（见教材P47）上页下页铃结束返回首页下页例1．解线性方程组。3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-方程组的解为x1x2x371。2=-=-=于是得到x2=3-2x3=-1，=-7。x1=3+2x2-4x3x3=2，+4x3=3-2x2x1+x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-解：+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2+4x3=3-2x2x1x3=2，+2x3=3x2——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2上页下页铃结束返回首页下页求解过程与矩阵的初等行变换：+4x3=3-2x2x1+x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-解：+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2+4x3=3-2x2x1x3=2，+2x3=3x2——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2(Ab)=1-243-14153-514123-514121-243-141501231-243025801231-2430012——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程。上页下页铃结束返回首页01231-2430012122rr+108901230012132382rrrr--100701010012--故方程组的解为12371.2xxx=-=-=上页下页铃结束返回首页n元线性方程组Ax=b下页定理3：（1）无解（2）有唯一解（3）有无穷多解线性方程组解的判定定理：);,()(bARAR;),()(nbARAR==.),()(nbARAR=上页下页铃结束返回首页第四步，写出方程组的解。下页解线性方程组的一般步骤：第一步，对增广矩阵施以初等行变换，化成行阶梯形矩阵；第二步，根据定理3判断方程组是否有解；第三步，如果方程组有解，则对上述行阶梯形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；上页下页铃结束返回首页解：(Ab)=11116315-213-1-337-1-337-101-1-2-20-22440-448815-1-1-1-101-2-2000000000015-1-1-101-1-2-2000000000010499，例2．解线性方程组。x1x1x1x15x26x23x2x25x32x3x33x3x43x43x47x41337=-=-==++++--++--++下页上页下页铃结束返回首页解：(Ab)=11116315-213-1-337-1-337-1方程组的一般解为00011000-1004-2009-2009，例2．解线性方程组。x1x1x1x15x26x23x2x25x32x3x33x3x43x43x47x41337=-=-==++++--++--++x1x24x3x39x42x492==--+-+下页()(,)2RARAb==4,故方程组有无穷多解.34(,)xx任意则方程组的通解为：x1x2x3x44c1c1c19c22c2c1c292=-=-==-+-+12(,)ccR上页下页铃结束返回首页例3．解线性方程组。x1x12x1x2x22x22x22x3x33x3x33x44x4x4x41146====-++++++-+---解：0111123422-1-61121-4-1-13(Ab)=0111-40113-400-5-8-7112130111-40002000-5-8-7112130111-4005870002011213，下页()3,RA=(,)4,RAb=故方程组无解.上页下页铃结束返回首页例4．a取何值时，线性方程组并求其解。x1ax1x1x2x2x2x3x3ax3a15===++++++有解？a11111a5111a解：(A，b)=(1)当a=1时，R(A)=R(A,b)=13，方程组有无穷多个解，(Ab)000000001111，此时方程组的全部解为x1x2x31-c1-c2c1c2===(c1，c2为任意常数)。01-a1-a1-a2111a00a-11-a，其一般解为),(132321任意xxxxx--=--1312rrarr上页下页铃结束返回首页例4．a取何值时，线性方程组并求其解。x1ax1x1x2x2x2x3x3ax3a15===++++++有解?解：a11111a5111a(A，b)=01-a1-a1-a2111a00a-11-a，(2)当a1时，R(A)=R(A，b)=3，方程组有唯一解，此时下页--1312rrarr-[phone]aabA,--)1()1(32arar--3221rrrr-+-110020101001a方程组的唯一解为-=+=-=121321xaxx上页下页铃结束返回首页例4设有线性方程组123123123(1)0,(1)3,(1),xxxxxxxxx+++=+++=+++=问λ取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解;(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.上页下页铃结束返回首页解：对增广矩阵B=(A,b)作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有1110(,)1113111Ab+=++11111131110+++13rr123123123(1)0,(1)3,(1),xxxxxxxxx+++=+++=+++=上页下页铃结束返回首页2131(1)rrrr--+111030(2)(1)+----+-+32rr+1110300(3)(1)(3)+---+-+11111131110+++上页下页铃结束返回首页由此可得：(1)当λ0且λ-3时，方程组有唯一解；(2)当λ=0时，方程组无解；(3)当λ=-3时，方程组有无穷多解.这时R(A)=R(A,b)=3，R(A)=1，R(A，b)=2，R(A)=R(A,b)=21110300(3)(1)(3)+---+-+112303360000--=-3,上页下页铃结束返回首页21()3112301120000r-----12101101120000rr-----则方程组的一般解为：132312xxxx=-=-3()x任意则方程组的通解为：12312().xcxccRxc=-=-=上页下页铃结束返回首页课堂练习1、解下列方程：12312312422(1)3210;1138xxxxxxxx+-=-+=+=234(2)245.38213496xyzxyzxyzxyz++=-+=-+-=-+=-2、取何值时，方程组12312321231,xxxxxxxxx++=++=++=(1)(2)(3)有唯一解；无解；有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。上页下页铃结束返回首页答案1、(1)无解；12(2)2().xcyccRzc=--=+=22-、(1)当1且时，有唯一解；=2-(2)当时，无解；=(3)当1时，有无穷多解，其解为:1122112321(,).xccxcccRxc=--==