高中物理奥林匹克竞赛：数学预备 高等数学-2018航院初二班

2018江苏省物理学会物理理论夏令营电磁学部分数学预备知识一.导数1.极限若当自变量x无限趋近某一数值x0（记作x→x0）时，函数f(x)的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做x→x0时函数f(x)的极限值，并记作axfxx)(lim02.导数与微分y(x)在x0处的导数为xxyxxyxxxyxyxyxxx)()(lim)()(lim)(0000000在每一个x0处可以求出函数的导数值，所以导数值构成x的函数，即为导函数y′(x)（有时就写y′）。导函数可以再求导，得到原函数的二次导数y′′(x)（有时就写y′′），继续下去，可得到更高阶导数。导数y′(x0)的几何意义是函数y在x0点处切线的斜率。在数学上，常用dx表示无穷小的Δx，叫做x的微分，dy=y(x+dx)-y(x)叫做y的微分，据此，导数可记为形式：xyxydd)(二阶导数可写为22dd)dd(dd)(xyxyxxy还有时（尤其对时间求导时），常用点表示求导：tytydd)(3.物理中的导数举例)(txv)()(txtva4.一些常见函数的导数根据定义，我们可以求得：Cxy)(Axxy)(2)(Axxy3)(AxxyxAxysin)(0)(xyAxy)(Axxy2)(23)(AxxyxAxycos)(xxy1)(21)(xxyxAxycos)(xAxysin)(xxy)(xxy21)(5.导数运算法则)(dd)(dd))()((ddxvxBxuxAxBvxAux)(dd)()(dd)())()((ddxvxxuxuxxvxvxux2dddd))()((ddvvxuuxvxvxux（右侧函数变量隐去了）xvvuxvuxdddd))((dd练习1：根据第2式和第4式推出第3式。练习2：根据cosx和sinx的导数推出tanx的导数。6.常用导数表例1.求下列函数的导数，其中（4）对t求导（1）（2）（3）（4）)cos()(bAxxy)cos()(bAxxxyxxxy2)(2txxxxxy3,21)(2介绍：偏导数对一个多元函数可以求偏导：以f(x,y,z)为例，对x求偏导时将y,z看做常数；对y求偏导时将x,z看做常数；对z求偏导时将x,y看做常数。例.f(x,u)=cos(ux)+u)sin(uxuxf1)sin(uxxuf7.利用导数求极值函数在极值处斜率为0，可据此用求导的方法求极值。例2.求下列函数的极值：（1）y=x2+4x+1的最小值；（2）在x0范围内的最小值；（3）的最大值；xxy12xxy8.泰勒级数mmmxxmxfxf)(!)()(000)(其中f(m)(x0)是f的m阶导数在x0处的值，f(0)(x0)=f(x0)。若要保留到第k阶小量，在x0靠近x时，mkmmxxmxfxf)(!)()(000)(例3.求下列函数的近似：（1）cosx在x=0附近保留到第三阶小；（2）sinx在x=0附近保留到第三阶小；（3）1/(1-x)2在x=0附近保留到第二阶小。速度是位移对时间的求导。如果已知速度与时间的函数关系，我们可以用v(t)dt求出dt时间内的位移（因为dt无穷小，在这段时间内物体可看作匀速运动，相对误差为无穷小），然后再求和就得到一段时间内的位移，这个过程我们称为积分。如果知道初始位置，我们就能求出任一时刻的位置。tvtvd二.积分一个函数的积分在几何上可以理解为函数图线下方包围的面积。比如v-t图下方包围的面积就是v对t的积分，物理上知道这是位移，也就是说位移是速度的积分。若给了v(t)，并且若指定t的范围，可以求出一个确切的位移，这是定积分；如果不指定t的范围，则求不出确切的位移值，这是不定积分。定积分基本定理：若被积函数f(x)是某个函数Ф(x)的导数，即f(x)=Ф′(x)，则在x＝a到x＝b区间内f(x)对x的定积分等于Ф(x)在这区间内的增量：)()(|)(abdxxfbaba不定积分：Cxdxxf)()(因为Ф(x)和Ф(x)+C的导数一样。在不定积分中代入上下限后能得到定积分值，其中常数C消去了。一些积分定理：xxgBxxfAxxBgxAfd)(d)(d))()((vvuxxvvud)(d)()(例4.求下列函数的积分：（1）sin(ax+b)；（2）sinxcosx；（3）22xax物理中用到的一些积分举例：tvxdtavdxFWdtPWdxEUd三.矢量的运算1.矢量的加减法可用三角形法则2.矢量的数乘A3.矢量的内积（点乘、标积）cosABBA矢量的标积得到一个数。矢量的标积满足交换律和分配律。θ是两个矢量的夹角4.矢量的外积（叉乘、矢积、矢量积）BACsin||||||BACθ是两个矢量的夹角C的方向可由右手螺旋定则确定，如图。矢量的矢积得到一个矢量。矢量的矢积满足反交换律和分配律。一个矢量和自己进行矢积得到零。物理上一些用到的矢积举例：rvFrMvrmLBlIFBvqF线速度力矩角动量安培力洛仑兹力