《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第四章 三角函数、解三角形 第一节

考纲考向分析核心要点突破第一节三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.三角函数的概念.2.同角三角函数关系式.3.诱导公式.1.了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.4.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，会用三角函数线解决相关问题.5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx，熟练运用公式化简、求值与证明简单的三角恒等式高考对该部分内容主要考查三角函数的定义及应用、三角函数值符号的确定、利用诱导公式与同角三角函数关系化简三角函数式及求三角函数值等问题.高考仍会将三角函数的概念、同角三角函数和诱导公式作为基础内容，融于三角函数求值、化简及解三角形的考查中.考纲考向分析核心要点突破知识点一任意角的三角函数1.任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为_____、_____、_____.②按终边位置不同分为_______和_______.(2)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.正角负角零角象限角轴线角考纲考向分析核心要点突破2.弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.(2)角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.lr考纲考向分析核心要点突破(3)角度与弧度的换算①1°＝rad；②1rad＝180π°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为αrad，半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝＝.π18012r2α12lr考纲考向分析核心要点突破3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝cosα＝，tanα＝(x≠0).yxyx(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的______、______和_______.正弦线余弦线正切线考纲考向分析核心要点突破知识点二同角三角函数基本关系式及诱导公式1.同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1，其等价形式为：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝_________.(2)商数关系：＝，其等价形式为：sinα＝_____________，cosα＝.1－sin2αsinαcosα＝tanαcosα·tanαsinαtanα考纲考向分析核心要点突破2.角的对称相关角的终边对称性α与π＋α关于_____对称α与π－α关于_____对称α与－α(或2π－α)关于x轴对称关于直线______对称原点y轴y＝xα与π2－α考纲考向分析核心要点突破组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sinα______-sinαsinα_____cosα余弦cosα-cosα______-cosαsinα______正切tanαtanα-tanα______口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限-sinαcosα-tanαcosα-sinα考纲考向分析核心要点突破【名师助学】本部分知识可以归纳为：(1)一个口诀：考纲考向分析核心要点突破(2)一个图表：考纲考向分析核心要点突破方法1三角函数的概念及应用利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：①角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；②纵坐标y；③该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).考纲考向分析核心要点突破【例1】(2014·衡水中学月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.求sinα＋1tanα的值.[解题指导]利用三角函数的定义求得x的值，再利用三角函数的定义求解三角函数值.解∵P(x，－2)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝x2＋2.又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x(x≠0).∴x＝±10，∴r＝23.考纲考向分析核心要点突破当x＝10时，P点坐标为10，－2，由三角函数的定义，有sinα＝－66，1tanα＝－5，∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；当x＝－10时，同样可求得sinα＋1tanα＝65－66.[点评]解决本题的关键是正确的运用三角函数的定义求解.考纲考向分析核心要点突破方法2同角三角函数关系式同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)弦切互化法：主要利用公式tanθ＝sinθcosθ化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ.考纲考向分析核心要点突破【例2】(2014·浙江镇海中学阶段性测试)已知3sinα＋4cosα＝5，求tanα.解法一由题意得3sinα＝5－4cosα，两边平方，得9sin2α＝25－40cosα＋16cos2α，则25cos2α－40cosα＋16＝0，解得cosα＝45，则sinα＝35，故tanα＝34.法二把等式两边平方，整理得9sin2α＋24sinαcosα＋16cos2α＝25(sin2α＋cos2α)，两边同时除以cos2α，整理得16tan2α－24tanα＋9＝0，解得tanα＝34.考纲考向分析核心要点突破法三设4sinα－3cosα＝x，则x2＋25＝(4sinα－3cosα)2＋(3sinα＋4cosα)2＝25，从而有x＝0，则tanα＝34.法四因为3sinα＋4cosα＝5sin(α＋φ)，其中cosφ＝35，sinφ＝45，所以sin(α＋φ)＝1，则α＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，则sinα＝sin2kπ＋π2－φ＝cosφ＝35，cosα＝cos(2kπ＋π2－φ)＝sinφ＝45，故tanα＝34.考纲考向分析核心要点突破[点评]同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.考纲考向分析核心要点突破方法3诱导公式的应用问题利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式.(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.考纲考向分析核心要点突破【例3】(1)已知cosπ6＋α＝33，求cos5π6－α的值；(2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tanα－72π的值.[解题指导](1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系.(2)先化简已知，求出cosα的值，然后化简结论并代入求值.考纲考向分析核心要点突破解(1)∵π6＋α＋5π6－α＝π，∴5π6－α＝π－π6＋α.∴cos5π6－α＝cosπ－π6＋α＝－cosπ6＋α＝－33，即cos5π6－α＝－33.考纲考向分析核心要点突破(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35.∴sin(3π＋α)·tanα－72π＝sin(π＋α)·－tan72π－α＝sinα·tanπ2－α＝sinα·sinπ2－αcosπ2－α＝sinα·cosαsinα＝cosα＝35.考纲考向分析核心要点突破[点评]熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.