【数学】2017年高考真题――全国Ⅱ卷(理)(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.3+i=1+i（）A．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-i2.设集合1,2,4A，240Bxxxm．若1AB，则B（）A．1,3B．1,0C．1,3D．1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5.设x，y满足约束条件2330233030xyxyy，则2zxy的最小值是（）A．15B．9C．1D．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8.执行下面的程序框图，如果输入的1a，则输出的S（）A．2B．3C．4D．59.若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．23310.已知直三棱柱111ABCABC中，120ABC，2AB，11BCCC，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（）A．32B．155C．105D．3311.若2x是函数21`()(1)exfxxax的极值点，则()fx的极小值为（）A.1B.-3-2eC.-35eD.112.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小值是（）A.2B.32C.43D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，Χ表示抽到的二等品件数，则DΧ．14.函数23sin3cos4fxxx（π0,2x）的最大值是．15.等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS．16.已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则FN．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知2sin()8sin2BAC．(1)求cosB(2)若6ac,ABC面积为2,求.b18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）P（𝐾2≥𝑘）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822()()()()()nadbcKabcdacbd19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面三角形BCD，01,90,2ABBCADBADABCE是PD的中点（1）证明：学|科网直线//CE平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为045，求二面角M-AB-D的余弦值20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2212xy上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且1OPPQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（12分）已知函数3()ln,fxaxaxxx且()0fx.（1）求a；（2）证明：()fx存在唯一的极大值点0x，且230e()2fx.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4．（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足16OMOP,求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为π(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB面积的最大值．23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知220,0,2abab，证明：（1）33()()4abab；（2）2ab．【参考答案】1．D【解析】3i1i3i2i1i1i1i2．C【解析】1是方程240xxm的解，1x代入方程得3m∴2430xx的解为1x或3x，∴13B，3．B【解析】设顶层灯数为1a，2q，7171238112aS，解得13a．4．B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．2211π310π3663π22VVV总上5．A【解析】目标区域如图所示，当直线-2y=x+z取到点63，时，所求z最小值为15．6．D【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得2343CA367．D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．8．B【解析】0S，1k，1a代入循环得，7k时停止循环，3S．9．A【解析】取渐近线byxa，化成一般式0bxay，圆心20，到直线距离为2223bab得224ca，24e，2e．10．C【解析】M，N，P分别为AB，1BB，11BC中点，则1AB，1BC夹角为MN和NP夹角或其补角（异面线所成角为π02，）可知11522MNAB，11222NPBC，作BC中点Q，则可知PQM△为直角三角形．1PQ，12MQACABC△中，2222cosACABBCABBCABC14122172，7AC则72MQ，则MQP△中，22112MPMQPQ则PMN△中，222cos2MNNPPMPNMMHNP222521122210552222又异面线所成角为π02，，则余弦值为105．11．A【解析】2121exfxxaxa，则324221e01faaa，则211exfxxx，212exfxxx，令0fx，得2x或1x，当2x或1x时，0fx，当21x时，0fx，则fx极小值为11f．12．B【解析】几何法：如图，2PBPCPD（D为BC中点），则2PAPBPCPDPA，要使PAPD最小，则PA，PD方向相反，即P点在线段AD上，则min22PDPAPAPD，即求PDPA最大值，又3232PAPDAD，则2233224PAPDPAPD≤，则min332242PDPA．解析法：建立如图坐标系，以BC中点为坐标原点，∴03A，，10B，，10C，．设Pxy，，PDCBA3PAxy，，1PBxy，，1PCxy，，∴222222PAPBPCxyy2233224xy则其最小值为33242，此时0x，32y．13．1.96【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02p，100n则11000.020.981.96xDnpp14．1【解析】23πsin3cos042fxxxx，231cos3cos4fxxx令cosxt且01t，2134ytt2312t则当32t时，fx取最大值1．15．2+1nn【解析】设na首项为1a，公差为d．则3123aad414610Sad求得11a，1d，则nan，12nnnS112222122311nkkSnnnn11111112122311nnnn122111nnn16．6【解析】28yx则4p，焦点为20F，，准线:2lx，如图，M为F、N中点，故易知线段BM为梯形AFMC中位线，∵2CN，4AF，∴3ME又由定义MEMF，且MNNF，∴6NFNMMF17.解：（1）依题得：21cossin8sin84(1cos)22BBBB．∵22sincos1BB，∴2216(1cos)cos1BB，∴(17cos15)(cos1)0BB，∴15cos17B，lFNMCBAOyx（2）由⑴可知8sin17B．∵2ABCS△，∴1sin22acB，∴182217ac，∴172ac，∵15cos17B，∴22215217acbac，∴22215acb，∴22()215acacb，∴2361715b，∴2b．18．解：（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg”为事件B“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件C而0.04050.03450.02450.01450.0125PB0.620.06850.04650.01050.0085PC0.660.4092PAPBPC（2）箱产量50kg箱产量50kg≥旧养殖法6238新养殖法3466由计算可得2K的观测值为222006266383415.70510010096104k∵15.7056.635∴26.6350.001PK≥∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．（3）150.2，0.20.0040.0200.0440.03280.0320.06817，852.3517≈502.3552.35，∴中位数为52.35．19．解：（1）令PA中点为F，连结EF，BF，CE．∵E，F为PD，PA中点，∴EF为PAD△的中位线，∴12EFAD∥．又∵90BADABC，∴BCAD∥