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1第3讲平面向量1．(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→2．(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→等于()A．20B.15C．9D．63．(2015·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．4．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的最大值是________．1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．2例1(1)(2014·陕西)设0θπ2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.(2)如图，在△ABC中，AF＝13AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若AB→＝a，AC→＝b，且CE→＝xa＋yb，则x＋y＝________.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1(1)(2015·黄冈中学期中)已知向量i与j不共线，且AB→＝i＋mj，AD→＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是()A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1(2)(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.热点二平面向量的数量积(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)三个结论①若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.例2(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________．(2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若OA→·OB→＝6，则|OG→|的最小值是________．思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2(1)(2015·山东)过点P(1，3)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，3则PA→·PB→＝________________________________________________________________________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0αxπ.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值．思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中4的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3(2014·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．51．如图，在△ABC中，AD→＝13AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AN→.则AN→等于()A.12(a＋b)B.13(a＋b)C.16(a＋b)D.18(a＋b)2．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，则FD→·FE→等于()A．－34B．－89C．－14D．－493．已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，且a⊥b，则tan(2α＋π4)＝________.4．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则OP→·BP→最小值是_______________________________________________________．二轮专题强化练6专题三第3讲平面向量A组专题通关1．(2015·佛山月考)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则DA→等于()A．(2,4)B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)2．(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC→3．在△ABC中，N是AC边上一点，且AN→＝12NC→，P是BN边上的一点，若AP→＝mAB→＋29AC→，则实数m的值为()A.19B.13C．1D．34．(2015·福建)已知AB→⊥AC→，|AB→|＝1t，|AC→|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP→＝AB→|AB→|＋4AC→|AC→|，则PB→·PC→的最大值等于()A．13B．15C．19D．215．(2015·湖北)已知向量OA→⊥AB→，|OA→|＝3，则OA→·OB→＝________.6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM→＝AB→＋3AC→，则△ABM与△ABC的面积比值为________．7．(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F7分别在线段BC和DC上，且BE→＝23BC→，DF→＝16DC→，则AE→·AF→的值为________．8．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，12)，n＝(π3，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足OQ→＝m⊗OP→＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．9．(2015·惠州二调)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈[0，π2]．(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．10．已知向量a＝(2sin(ωx＋2π3)，0)，b＝(2cosωx,3)(ω0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．8B组能力提高11．已知非零单位向量a与非零向量b满足|a＋b|＝|a－b|，则向量b－a在向量a上的投影为()A．1B.22C．－1D．－2212．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[2－1，2＋1]B．[2－1，2＋2]C．[1，2＋1]D．[1，2＋2]13．(2015·江苏)设向量ak＝coskπ6，sinkπ6＋coskπ6(k＝0,1,2，…，12)，则k＝011(ak·ak＋1)的值为________．14．(2014·陕西)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA→＋PB→＋PC→＝0，求|OP→|；(2)设OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．9学生用书答案精析第3讲平面向量高考真题体验1．A[∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→.]2．C[AM→＝AB→＋34AD→，NM→＝CM→－CN→＝－14AD→＋13AB→，∴AM→·NM→＝14(4AB→＋3AD→)·112(4AB→－3AD→)＝148(16AB→2－9AD→2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]3．－3解析∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝2－5＝－3.4.7＋1解析设D(x，y)，由CD→＝(x－3，y)及|CD→|＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．又OA→＋OB→＋OD→＝(－1,0)＋(0，3)＋(x，y)＝(x－1，y＋3)，∴|OA→＋OB→＋OD→|＝x－2＋y＋32.问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－3)间距离的最大值．∵圆心C(3,0)与点P(1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7，10故x－2＋y＋32的最大值为7＋1.热点分类突破例1(1)12(2)－12解析(1)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0θπ2，所以cosθ0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝12.(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝13AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．方法一因为AB→＝a，AC→＝b，D为BC的中点，所以AD→＝12(a＋b)．所以AE→＝12AD→＝14(a＋b)．所以CE→＝CA→＋AE→＝－AC→＋AE→＝－b＋14(a＋b)＝14a－34b.所以x＝14，y＝－34，所以x＋y＝－12.方法二易得EF＝12MD，MD＝12CF，所以EF＝14CF，所以CE＝34CF.因为CF→＝CA→＋AF→＝－AC→＋AF→＝－b＋13a，11所以CE→＝34(－b＋13a)＝14a－34b.所以x＝14，y＝－34，则x＋y＝－12.跟踪演练1(1)C(2)12－16解析(1)因为A，B，D三点共线，所以AB→＝λAD→⇔i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i与j不共线，所以1＝λn，m＝λ，所以mn＝1.(2)如图，MN→＝MC→＋CN→＝13AC→＋12CB→＝13AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→－16AC→，∴x＝12，y＝－16.例2(1)22(2)2解析(1)由CP→＝3PD→，得DP→＝14DC→＝14AB→，AP→＝AD→＋DP→＝AD→