2016版高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)配套文档：专题六 解析几何 第1讲

第1讲直线与圆1．(2015·安徽)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或122．(2015·湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.3．(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.4．(2014·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.例1(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()A．0或－12B.12或－6C．－12或12D．0或12思维升华(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1已知A(3,1)，B(－1,2)两点，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为()A．y＝2x＋4B．y＝12x－3C．x－2y－1＝0D．3x＋y＋1＝0热点二圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0，表示以(－D2，－E2)为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．例2(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4D．x2＋(y＋1)2＝4思维升华解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2(1)(2015·赣州九校联考)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________．(2)已知直线l的方程是x＋y－6＝0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形(O为坐标原点)，则△OAB外接圆的方程是____________________．热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，dr⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|dr1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．例3(1)已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是()A．x＋y－5＝0B．x＋y－3＝0C．x－y－1＝0D．x－y＋1＝0(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A．3B.212C．22D．2思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3(1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为()A．1B.2C．2D．22(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为()A．－6B．－3C．－32D．31．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为()A．(x±33)2＋y2＝43B．(x±33)2＋y2＝13C．x2＋(y±33)2＝43D．x2＋(y±33)2＝132．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－2，则a的值为()A．1B．－5C．1或－5D．53．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a0)相交，公共弦的长为22，则a＝________.提醒：完成作业专题六第1讲二轮专题强化练专题六第1讲直线与圆A组专题通关1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y－1＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝02．若直线y＝kx＋2k与圆x2＋y2＋mx＋4＝0至少有一个交点，则m的取值范围是()A．[0，＋∞)B．[4，＋∞)C．(4，＋∞)D．[2,4]3．过P(2,0)的直线l被圆(x－2)2＋(y－3)2＝9截得的线段长为2时，直线l的斜率为()A．±24B．±22C．±1D．±334．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x＋y＝0B．x－y＝0C．x－y＋2＝0D．x＋y＋2＝05．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.176．已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1(0θπ2)．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.7．(2014·湖北)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝____.8．(2015·湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为_____________________________．(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．9．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OM→·ON→＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.B组能力提高11．圆心在曲线y＝2x(x0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，则面积最小的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝25B．(x－2)2＋(y－1)2＝5C．(x－1)2＋(y－2)2＝25D．(x－1)2＋(y－2)2＝512．已知圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的面积为S，平面区域D：2x＋y≤4与圆面C的公共区域的面积大于12S，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1,2)13．(2015·辽宁师范大学附中期中)若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上恰有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为22，则k＝________.14．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2a＋1)x＋(a＋1)y－7a－4＝0，其中a∈R.(1)求证：不论实数a取何值，直线l和圆C恒有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的线段最短时，直线l的方程和最短的弦长；(3)求过点M(6，－4)且与圆C相切的直线方程．学生用书答案精析专题六解析几何第1讲直线与圆高考真题体验1．D[∵圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或b＝12，故选D.]2．2解析如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r＝2|OD|＝2.3．4±15解析圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为|a＋a－2|a2＋1.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以(|a＋a－2|a2＋1)2＋12＝22，解得a＝4±15.4．[－1,1]解析如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N.设∠OMN＝θ，则θ≥45°，即sinθ≥22，即ONOM≥22.而ON＝1，∴OM≤2.∵M(x0,1)，∴x20＋1≤2，∴x20≤1，∴－1≤x0≤1，∴x0的取值范围为[－1,1]．热点分类突破例1(1)C(2)B解析(1)当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，则两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k4－k＝k－3，解得k＝3或k＝5.但必须满足1k－4≠32(截距不相等)才是充要条件，经检验知满足这个条件．(2)依题意，得|3m＋5|m2＋1＝|－m＋7|m2＋1.所以|3m＋5|＝|m－7|.所以(3m＋5)2＝(m－7)2，所以8m2＋44m－24＝0.所以2m2＋11m－6＝0.所以m＝12或m＝－6.跟踪演练1C[由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y＝x＋1对称．设点B(－1,2)关于