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第2讲三角恒等变换与解三角形-2-热点考题诠释能力目标解读123451.(2015福建,文6)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于()A.B.-C.D.-答案解析解析关闭答案解析关闭D-3-热点考题诠释能力目标解读123452.(2015重庆,文6)若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=()A.B.C.D.答案解析解析关闭答案解析关闭A-4-热点考题诠释能力目标解读123453.(2015四川,文13)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是.答案解析解析关闭答案解析关闭-1-5-热点考题诠释能力目标解读123454.(2015湖北,文15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.答案解析解析关闭如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600m,∠EBC=75°,∠CBD=30°.在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由𝐵𝐶sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵,得BC=𝐴𝐵·sin∠𝐵𝐴𝐶sin∠𝐴𝐶𝐵=600×1222=3002(m).在Rt△BCD中,CD=BC·tan∠CBD=3002×33=1006(m).答案解析关闭1006-6-热点考题诠释能力目标解读123455.(2015浙江,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.解:(1)由tan=2,得tanA=,所以.(2)由tanA=,A∈(0,π),得sinA=,cosA=.又由a=3,B=及正弦定理,得b=3.由sinC=sin(A+B)=sin得sinC=.设△ABC的面积为S,则S=absinC=9.-7-热点考题诠释能力目标解读本部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变形、解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合,或三角函数与平面向量相结合,是考向的主要趋势.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:①边和角的计算;②三角形形状的判断;③面积的计算;④有关的范围问题.由于此内容应用性较强,与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点,不可小视.-8-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四三角变换例1(2015浙江重点中学协作体届二适,文17)已知sin-2cos=0.(1)求tanx的值;(2)求的值.解:(1)由sin-2cos=0,得tan=2,故tanx==-.(2)原式===1+=1-.-9-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律方法三角函数式的求值问题一般有两种形式,一是给角求值;二是给值求值.解给角求值问题的关键是观察条件中所给角的关系,结合公式转化成特殊角或消去非特殊角的三角函数值而得出结果.解给值求值问题的关键是找出“条件角”与“所求角”的联系,通过拆角、拼角等方法,灵活应用公式求解.-10-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四迁移训练1已知cosx.(1)求sin2x的值;(2)求的值.解:(1)∵cos,∴coscosx-sinsinx=,即cosx-sinx=,两边平方可得sin2x=.-11-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(2)∵x,又由(1)知sin2x=0,∴x,则cosx+sinx=-=-=-.由(1)知cosx-sinx=,代入上式得=-.-12-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四解三角形例2(2015浙江金华十校2模拟(4月),文16)在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边长,已知sinA=.(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值;(2)若a=,求△ABC面积的最大值.-13-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四解:(1)由sinA=两边平方,得2sin2A=3cosA,即(2cosA-1)(cosA+2)=0,解得cosA=.因为a2-c2=b2-mbc可以变形为,即cosA=,所以m=1.(2)由(1)知cosA=,则sinA=,又,所以bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即bc≤a2.故S△ABC=sinA≤.-14-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律方法利用正弦定理与余弦定理解题,经常需要转化思想,一种是边转化为角,另一种是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,在解题过程中常用到以下规律:(1)分析已知等式中的边角关系,若要把“边”化为“角”,常利用“a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC”,若要把“角”化为“边”,常利用sinA=,sinB=,sinC=,cosC=等.-15-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(2)如果已知等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换.如果已知中含有形如b2+c2-a2=λbc(λ为常数)的代数式,一般向余弦定理靠拢.(3)余弦定理与完全平方式相联系可有:a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA).可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边;与重要不等式相联系,由b2+c2≥2bc,得a2=b2+c2-2bccosA≥2bc-2bccosA=2bc(1-cosA),可探求边或角的范围问题.-16-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四迁移训练2(2015课标全国Ⅱ,文17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求;(2)若∠BAC=60°,求∠B.解:(1)由正弦定理得.因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以.(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=cos∠B+sin∠B.由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=,即∠B=30°.-17-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四正、余弦定理的实际应用例3某高速公路旁边B处有一栋楼房,某人在距地面100m的32楼阳台A处,用望远镜观测路上的车辆,上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上,且俯角为30°的C处,10s后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上,且俯角为45°的D处.(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80km/h,试问该客车是否超速?(2)又经过一段时间后,客车到达楼房的正西方向E处,问此时客车距离楼房多远?-18-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四解:(1)在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=100m,则BC=100m,在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AB=100m,则BD=100m,在△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°,则DC==200m,所以客车的速度v==1200(m/min)=72(km/h),所以该客车没有超速.-19-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(2)在Rt△BCD中,∠BCD=30°,又因为∠DBE=15°,所以∠CBE=105°.所以∠CEB=45°.在△BCE中,由正弦定理可知,所以EB==50(m),即此时客车距楼房50m.-20-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律总结解三角形应用题是数学知识在生活中的应用,要想解决好,就要把实际问题抽象概括,建立相应的数学模型,然后求解.解三角形应用题常见的两种情况如下:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.-21-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四迁移训练3某山顶有一座石塔BC,已知石塔的高度为a.(1)如图①,若以B,C为观测点,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β,用a,α,β表示山的高度h.(2)如图②,若将观测点选在地面的直线AD上,其中D是塔顶B在地面上的正投影.已知石塔高度a=20,当观测点E在AD上满足DE=60时,看BC的视角(即∠BEC)最大,求山的高度h.-22-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四解:(1)在△ABC中,∠BAC=α-β,∠BCA=90°+β,在△ABC中,由正弦定理,得,则AB=.故h=AB·sinα-a=-a=.(2)设DE=x,∵tan∠BED=,tan∠CED=,∴tan∠BEC==,当且仅当x=,即x=时,tan∠BEC最大,从而∠BEC最大.由题意知=60,解得h=180.-23-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四三角形与不等式相结合问题例4(2015浙江镇海中学模拟,文16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,bcosC+bsinC-a-c=0.(1)求∠B的值;(2)若b=,求2a+c的最大值.-24-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四解:(1)因为bcosC+bsinC-a-c=0,所以应用正弦定理可得sinBcosC+sinBsinC-sinA-sinC=0.而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,将其代入上式即可得到sinBcosC+sinBsinC-(sinBcosC+cosBsinC)-sinC=0,整理得sinBsinC=cosBsinC+sinC,因为0Cπ,所以sinC0.所以sinB=cosB+1,即sin.所以B-+2kπ(k∈Z)或B-+2kπ(k∈Z),即B=+2kπ(k∈Z)或B=π+2kπ(k∈Z).因为0Bπ,所以B=.-25-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(2)由(1)知B=,应用正弦定理可得:=2,所以a=2sinA,c=2sinC.所以2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin=4sinA+2=5sinA+cosA=sin(A+φ).所以2a+c的最大值为2.-26-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律总结解决与已知有关的参数的范围或者最值问题.要建立参数与已知角或边的关系,然后把角或边作为自变量,参数作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数关系中的定义域)找完善,避免结果的范围过大.求最值时,有时也要用到重要不等式a2+b2≥2ab,基本不等式a+b≥2,或者ab≤求最值,应用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可.-27-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四迁移训练4(2015云南第一次检测)已知△ABC的内角A,B,C对的边分别为a,b,c,sinA+sinB=2sinC,b=3,则cosC的最小值等于.答案解析解析关闭答案解析关闭-28-命题热点答题模板例题(本小题满分15分)(2015浙江温州三适,文16)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2-bc.(1)求角A的大小;(2)若a=,求b+c的取值范围.解:(1)由已知得bc=b2+c2-a2,（2分）于是cosA=.（3分）故A=.（7分）-29-命题热点答题模板(2)解法1:由正弦定理得=2,（8分）∴b=2sinB,c=2sinC.∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B)=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB=3sinB+cosB=2sin.（11分）∵B∈,∴B+,sin.（14分）∴b+c∈(,2