不等式知识点归纳与题型

不等式讲义一、不等式的性质K1、特殊值法例1、【全国大纲理3】下面四个条件中，使ab＞成立的充分而不必要的条件是A．1ab＞B．1ab＞C．22ab＞D．33ab＞【答案】A例2．设ab，cd，则下列不等式中一定成立的是（）A．dbcaB．bdacC．dbcaD．cbda例3.若aR，下列不等式恒成立的是（）A．21aaB．2111aC．296aaD．2lg(1)lg|2|aa例4．若011ba，则下列结论不正确的是（）A．22baB．2babC．2baabD．||||||baba例5.【2003北京春文】设a，b，c，d∈R，且ab，cd，则下列结论中正确的是（）A.a+cb+dB.a－cb－dB．C.acbdD.cbda例6.【1994上海，12】若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是（）A.（1－a）31＞（1－a）21B.log1－a（1＋a）＞0C.（1－a）3＞（1＋a）2D.（1－a）)1(a＞1例7.【1999上海理，15】若ab0，则下列结论中正确的命题是（）Aba11和||1||1ba均不能成立B.bba11和||1||1ba均不能成立C.不等式aba11和（a+b1）2（b+a1）2均不能成立D.不等式||1||1ba和（a+a1）2（b+b1）2均不能成立C．例8．若13)(2xxxf，12)(2xxxg，则)(xf与)(xg的大小关系为（）A．)()(xgxfB．)()(xgxfC．)()(xgxfD．随x值变化而变化例9.【上海理15】若,abR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是A．222ababB．2ababC．112ababD．2baab例10.【11年陕西卷文】3．设0ab，则下列不等式中正确的是A．2abababB．2abaabbC．2abaabbD．2ababab例11.【2010安徽文数】若0,0,2abab，则下列不等式对一切满足条件的,ab恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．①1ab；②2ab；③222ab；④333ab；⑤112ab【答案】①，③，⑤K2求求取值范围例12．已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围.例13.【2010辽宁文数】已知14xy且23xy，则23zxy的取值范围是.例13.【2010江苏卷】设实数x,y满足3≤2xy≤8，4≤yx2≤9，则43yx的最大值是。10.有如下几个命题：①如果x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根且x1x2，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x∣x1＜x＜x2};②当Δ＝b2－4ac0时，二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为;③0xaxb与不等式(x－a)(x－b)≤0的解集相同；④2231xxx与x2－2x＜3(x－1)的解集相同.其中正确命题的个数是()A．3B．2C．1D．0二．解不等式K1.一次不等式例1.不等式bax的解集不可能是（）A．B．RC．),(abD．),(ab例2.（1996全国理，20）解不等式loga（1x1）＞1．例3.（1996全国文，20）解不等式loga（x＋1－a）＞1．K2.二次不等式例4.【2011年广东文科】不等式2x2-x-10的解集是（）A．1(,1)2B．（1，+）C．（-，1）∪（2，+）D．1(,)(1,)2例5.一元二次不等式ax2＋bx＋20的解集是)31,21(，则a＋b的值是()A.10B.－10C.14D.－14例6．不等式022bxax的解集是)31,21(，则ba的值等于（）例7.若不等式897x和不等式022bxax的解集相同，则a、b的值为（）A．a=﹣8b=﹣10B．a=﹣4b=﹣9C．a=﹣1b=9D．a=﹣1b=2例8.已知关于x的不等式20xxt对xR恒成立，则t的取值范围是【答案】B例7.已知函数y=(k2+4k－5)x2+4(1－k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k的取值范围.例9.【1996全国理，25】已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2＋bx＋c，g（x）=ax+b，当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1．（Ⅰ）证明：|c|≤1；（Ⅱ）证明：当－1≤x≤1时，|g（x）|≤2；（Ⅲ）设a＞0，当－1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）.例10.【1994全国文，22】已知函数f（x）=logax（a0，且a≠1），x∈［0，+∞）.若x1，x2∈［0，+∞），判断21［f（x1）+f（x2）］与f（221xx）的大小，并加以证明.K3.根式不等式例11.【2002北京文，17】解不等式12x＋2＞x．例12.【2002北京理，17】解不等式|12x－x|＜2.例13.【2010全国卷1理数】不等式2211xx的解集是.例14.【2000全国文20，理19】设函数f（x）＝12x－ax，其中a＞0．（1）解不等式f（x）≤1；（2）求a的取值范围，使函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数.K3.分式不等式例15.【2011年上海文科第6题】不等式11x的解为例16.【2011年上海理科第4题】不等式13xx的解为例17.【2010全国卷2文数】不等式32xx＜0的解集为（A）23xx（B）2xx（C）23xxx或（D）3xx例18.【2010上海文数】不等式204xx的解集是。例19.【江西理2】若集合{},{}xAxxBxx，则ABA．{}xxB．{}xxC．{}xxD．{}xx例20.【2010全国卷2理数】不等式2601xxx＞的解集为（A）2,3xxx＜或＞（B）213xxx＜，或＜＜（C）213xxx＜＜，或＞（D）2113xxx＜＜，或＜＜【答案】C例21.解不等式：21582xxx例22.【2001年天津，7】解关于x的不等式2axax＜0（a∈R）．例23.已知1a，解关于x的不等式12xax．A．－14B．14C．－10D．10K5绝对值不等式例24.【2010江西文数】不等式22xx的解集是A．(,2)B．(,)C．(2,)D．(,2)(2,)例25.【2010年江西理科第3题】不等式22xxxx的解集是（）A.(02)，B.(0)，C.(2)，D.(0)（-，0），【答案】A例26.【08年上海理科第1题】不等式|x－1|＜1的解集是例27.不等式||xxx的解集是（）A．{|01}xxB．{|11}xxC．{|01xx或1}xD．{|10,1}xxx例28.【1997全国，14】不等式组|22|330xxxxx的解集是（）A.｛x｜0＜x＜2}B.｛x｜0＜x＜2.5}C.｛x｜0＜x＜6}D.｛x｜0＜x＜3}例29.【2002全国，3】不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（）A．｛x｜0≤x＜1}B.｛x｜x＜0且x≠－1}C．｛x｜－1＜x＜1}D.｛x｜x＜1且x≠－1}例30.【11年全国新课标理】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3fxxax，其中0a．（I）当a=1时，求不等式()32fxx的解集．（II）若不等式()0fx的解集为｛x|1}x，求a的值．例31.【2011年广东理科第9题】不等式130xx的解集是例32.【2011年山东理科第4题】不等式|5||3|10xx的解集是A．[-5，7]B．[-4，6]C．,57,D．,46,例33.【2011年江西文科第15题】对于xR，不等式1028xx的解集为例34.【2010年陕西理科第7题】不等式x323x的解集为例35.【11年辽宁卷文】24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(xf=|x-2||x-5|．（I）证明：3≤)(xf≤3；（II）求不等式)(xf≥x28x+15的解集．例36.【11年山东卷理】(4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A）[-5,7](B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞)（D）(-∞，-4]∪[6,+∞)例37.【11年江西卷文】15．对于xR，不等式1028xx的解集为_______答案：}0{xxK6.恒成立问题例38.【2011年陕西文科第15题】若不等式12xxa对任意xR恒成立，则a的取值范围是__________例39.如果axx|9||1|对任意实数x总成立,则a的取值范围是（）A.}8|{aaB.}8|{aaC.}8|{aaD.}8|{aa例40.【11年陕西卷文】（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式12xxa对任意xR恒成立，则a的取值范围是__________。K7存在问题例41.【2011年陕西理科第15题】若关于x的不等式12axx存在实数解，则实数a的取值范围是例42.【11年江西卷理科】15(2).(不等式选择题）对于实数x，y，若11x，12y，则12yx的最大值为.三、基本不等式例1.a,b是正数，则2,,2abababab三个数的大小顺序是（）Ａ．22ababababＢ．22ababababＣ．22ababababＤ．22abababab例2.【2011年湖南理科第9题】设,xyR,且0xy，则222211()(4)xyyx的最小值为例3.【2000全国，7】若a＞b＞1，P＝balglg，Q＝21（lga＋lgb），R＝lg（2ba），则（）A.R＜P＜QB.P＜Q＜RC.Q＜P＜RD.P＜R＜Q例4.若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是（）A．2222abcB．2()3abcC．11123abcD．3abc例5.若x0,y0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）A．114xyB．111xyC．2xyD．11xy例6.【2011年上海理科第15题】若,abR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是（）A．222ababB．2ababC．112ababD．2baab例7.下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4yxxＢ．4sinsinyxx(0)xＣ．e4exxyＤ．3log4log3xyx例8．下列各式中最小值是2的是（）A．yx＋xyB．4522xxC．tanx＋cotxD．xx22例9.【2010年重庆文科第10题】已知0t，则函数241ttyt的最小值为____________例10.函数21yxx的最大值为例11.【2011年重庆理科第7题】已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=14ab的最小值是（）A．72B．4C．92D．5例12.【2011年福建文科第10题】若a0,b0,且函数f（x）=3242xaxbx在x=1处有极值，则ab的最大值等于A．2B．3C．6D．9例13.【2011年陕西文科第3题】设0ab，则下列不等式中正确的是A．2abababB．2abaabbC．2abaabbD．2ababab例14.【2011年上海文科第16题】若,abR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是（）A．222ab